Exponentielles Wachstum

Die Wachstumsfunktion für exponentielles Wachstum lautet:



Dabei ist:

${\displaystyle {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0 }$ der Anfangsbestand

${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ die Zeit

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ die Änderungsrate

Eine Wachstumsfunktion beschreibt wie sich der Bestand einer Menge ${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Bevölkerung, Zinsen, Bakterien, instabile Atomkerne) verändert im Laufe der Zeit.

Exponentiell bedeutet, dass die Veränderung pro Zeiteinheit nicht konstant ist, sonder prozentual zum vorherigem Wert des Bestandes.

Ist



so spricht man von einem Wachstum.

Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2\cdot {\mathrm{1,2}}^{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=2\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot ln\mathrm{1,2}}}$



Ist



so spricht man von einem Zerfall bzw. einer Zerfallsfunktion.

Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=25\cdot {\mathrm{0,5}}^{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=25\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot ln2}}$



Mit einer Wachstumsfunktion verbindet man den Begriff der Verdopplungszeit, die Zeit in der sich der Anfangsbestand ${\displaystyle {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ verdoppelt.



Mit einer Zerfallssfunktion verbindet man den Begriff der Halbwertszeit, die Zeit in der sich der Anfangsbestand ${\displaystyle {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ halbiert.