Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Exponentielles Wachstum und Zerfall

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Was versteht man unter Exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall und wie rechnet man damit?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gegeben: Funktion (oder Funktionstyp) , Zeit

t

und Anfangsbestand
Gesucht: Bestand nach t-Zeitschritten

1.Beispiel: Zinzeszins

Gegeben: Ein Kapital von 5000€ wird 5 Jahre zu $7 %$ verzinst. Über welches Kapital kannst Du nach der Zeit verfügen?

Hierfür wird die Formel für den Zinseszins benötigt:

K (n) = K (0) \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

Dabei sind

K (0)

das Anfangskapital

p

der Zinssatz

n

die Anzahl der Jahre (Zeit)

Setzt man die obigen Werte ein, ergibt sich:

K (5) = 5000 \cdot {(1 + \frac{7}{100})}^{5} \approx 7012,76

€

Nach 5 Jahren verfügt man, bei einem Zinssatz von

7 %,

über 7012,76€

Gegeben: Funktion (oder Funktionstyp) , Zeit

t

und Anfangsbestand
Gesucht: Verdoppelungszeit oder Zeit bis zu einem gegeben Bestand

1.Beispiel: Zinzeszins

Gegeben: Ein Kapital von 5000€ wird 5 Jahre zu $7 %$ verzinst. Wie lange wird es dauern, bis sich das Kapital verdoppelt hat?

Hierfür wird die Formel für den Zinseszins benötigt:

K (n) = K (0) \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

Dabei sind

K (0)

das Anfangskapital

p

der Zinssatz

n

die Anzahl der Jahre (Zeit)

1 + \frac{p}{100}

wird auch Änderungsrate genannt

Für die Verdoppelungszeit gibt es eine einfach zu merkende Formel:

Verdoppelungszeit

= \frac{log (2)}{log (a)},

wobei a die Änderungsrate ist.

In diesem Fall ist

a = 1 + \frac{p}{100} = 1 + \frac{7}{100} = 1,07

\Rightarrow n = \frac{log (2)}{log (1,07)} \approx 10,24

Das Kapital verdoppelt sich also nach guten

10

Jahren.

2.Beispiel: Bevölkerungswachstum

Gegeben: Die Bevölkerung eines Landes nimmt jährlich um $2,3 %$ zu. Die Bevölkerungszahl wächst also jährlich auf das $1,023 -$ fache an. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes hat das Land $12$ Mill. Einwohner. Wann hatte das Land $10$ Mill. Einwohner, wann wird es $40$ haben?

Folgende Funktion beschreibt das Bevölkerungswachstum:

N (t) = 12 \cdot {(1,023)}^{t}

Für

N (t)

setzt man die Werte

10

und

40

ein und löst die Gleichung nach

t

auf:

10 = 12 \cdot {(1,023)}^{t}

\Rightarrow \frac{10}{12} = {1,023}^{t} |

Logarithmieren

\Rightarrow log (\frac{10}{12}) = t \cdot log (1,023)

\Rightarrow t = \frac{log (\frac{10}{12})}{log (1,023)} \approx - 8,02

\Rightarrow

Vor ca. 8 Jahren hat die Bevölkerung

10

Mill. Menschen betragen.

Analoge Rechnung für

N (t) = 40

Gegeben: Zwei Bedingungen
Gesucht: Zuwachsrate

a,

Anfangsbestand

B (0),

Zerfallgesetz

N (t)

1.Beispiel: organisches Wachstum

Gegeben: Nach 5 Tagen gibt es $200$ Fliegen, nach $19$ Tagen sind es bereits $625$ . Wie hoch ist die Zuwachsrate? Bestimmen Sie den Anfangsbestand.

Die Wachstumsfunktion für exponentielles Wachstum lautet:

B (t) = B (0) \cdot a^{t}

Dabei sind:

B (O)

Anfangsbestand
a Zuwachsrate (Änderungsrate)

t

Zeit

Für die obigen Wert gilt also:

B (5) = 200 = B (0) \cdot a^{5}

B (19) = 625 = B (0) \cdot a^{19}

\Rightarrow 625 = 200 \cdot a^{14}

\Rightarrow a = \sqrt[14]{\frac{625}{200}} \approx 1,0848

Mit der gefundenen Zuwachsrate ermitteln man leicht den Anfangsbestand:

200 = B (0) \cdot a^{5}

\Rightarrow B (0) = \frac{200}{a^{5}} = \frac{200}{{1,0848}^{5}} \approx 133,13 \approx 133

Fliegen.

2.Beispiel: Radioaktiver Zerfall

Gegeben:Zu Beginn der Beobachtung besteht ein radioaktives Präparat aus einer Milliarde Atomen. Nach 7 Stunden sind nur noch $750$ Millionen radioaktive Atome vorhanden. Ermittle das Zerfallsgesetz

Ansatz:

N (t) = N (0) \cdot b^{- t}

N (0) = 1.000.000.000

ist der Anfangsbestand

t = 7

Stunden

N (t = 7) = 750.000.000

\Rightarrow 750.000.000 = 1.000.000.000 \cdot b^{- 7}

\Rightarrow 0,75 = b^{- 7}

\Rightarrow 0,75 = e^{- 7 \cdot ln b}

\Rightarrow ln 0,75 = - 7 \cdot ln b

\Rightarrow ln b = \frac{ln 0,75}{- 7} \approx 0,04

\Rightarrow b \approx e^{0,04}

\Rightarrow b \approx 1,04

Das Zerfallsgesetz lautet also:

N (t) = 1.000.000.000 \cdot {1,04}^{- t}

Gegeben: Funktion (oder Funktionstyp), Anfangsbestand und Wachstumsrate
Gesucht: Zeit

t

1.Beispiel:

Gegeben: In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt im Laufe einer Woche um $10 %$ zu. Wie lange dauert es, bis die ganze Stadt $(60000$ Einwohner ) das Gerücht kennt? Die Aufgabe soll mit Hilfe des nat. Logarithmus, der nat. Basis $e$ und mit dem Wachstumsfaktor $k$ gelöst werden.

Der Funktionstyp der dieses Wachstum beschreibt lautet:

B (t) = B (0) \cdot e^{ln k \cdot t}

Dabei sind:

B (0)

der Anfangsbestand

k

die Wachstumsrate

t

die Zeit (

\in

Wochen hier)

Bei

t = 0

(also am Anfang) kennt das Gerücht ja nur eine Person.

D . h

. es gilt:

B (0) = 1

In einer Woche nimmt die Anzahl der Leute, die das Gerücht gehört haben, um

10 %

zu,

d . h

. hier handelt es sich um eine Wachstumsrate von

k = 1,1

Die Wachstumsfunktion lautet somit:

B (t) = 1 \cdot e^{ln (1,1) \cdot t}

Um die Zeit

t

auszurechnen muss dann folgende Gleichung gelöst werden:

60000 = e^{ln (1,1) \cdot t}

Man wendet nun den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an:

ln 60000 = {ln e}^{ln (1,1) \cdot t}

\Rightarrow ln 60000 = ln (1,1) \cdot t \cdot ln e | ln e = 1

\Rightarrow t = \frac{ln 60000}{ln (1,1)} \approx 116

Nach ca.

116

Wochen kennt die ganze Stadt das Gerücht.

2.Beispiel: Wasserrosen

Gegeben:

In einer Flussniederung wird Kies ausgebaggert. Die Größe des Teiches verändert sich durch die Baggerarbeiten jede Woche und kann durch diese Vorschrift beschrieben werden: $y = 40 x + 100 (x$ Anzahl Wochen, $y$ Gröse des Teiches). Da der See später als Wassersportfläche genutzt werden soll, wird die Wasserqualität regelmäßig untersucht. Besonders genau wird auf Wasserrosen beobachtet, die sich sehr schnell vermehren. Die von den Wasserrosen bedeckte Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten $3 m^{2}$ groß, sie verdoppelt sich jede Woche (Tabelle: Anzahl $x$ der Wochen - Größe $y$ der Wasserosenfläche in $m^{2})$ . Setze die Wertetabellen bis zu 8 Wochen fort. Ermittle die dazugehörige Funktionsvorschrift. Setze die Graphen der Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Wann ist der ganze See mit Algen bedeckt?

Tabelle:

x : 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8

y : 3 | 6 | 12 | 24 | 48 | 96 | 192 | 384 | 768

Die allgemeine Funktionsvorschrift des exponentiellen Wachstums lautet:

f (x) = c \cdot a^{x}

Mit Hilfe der Tabellenwerte bestimmt man

c

und

a :

f (0) = c \cdot a^{0} = c = 3

f (1) = c \cdot a^{1} = 3 \cdot a = 6 \Rightarrow a = 2

\Rightarrow f (x) = 3 \cdot 2^{x}

Zeichnet man die Graphen der Funktionen

f (x) = 40 x + 100

und

f (x) = 3 \cdot 2^{x}

in einem gemeinsamen Koordinatensystem ein, dann liest man leicht ab wann der Teich komplett mit Wasserrosen bedeckt wird (Wert des Punktes wo sich die Graphen treffen)

t \approx 7

Wochen

535900

524491

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?