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Allgemeine Prüfung von Achsen- und Punktsymmetrie

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Max139 aktiv_icon

09:02 Uhr, 04.07.2015

Hallo zusammen,

ich habe Fragen zu folgendem beschriebenen Verfahren in meinem Skript. Hier wird eine allgemeine Prüfgleichung für Achsensymmetrie zu einer Achse parallel zur

y

Achse sowie eine Punktsymmetrie zu einem spezifischen Punkt im Koordinatensystem hergeleitet.

Für die Achssymetrie soll gelten:

f (- x + b) = - f (x + b)

Für die Punktsymmetrie:

f (- x + b) - c = - f (x + b) + c

Ich verstehe hier nicht ganz, wie man von der allgemeinen Form wie

z . B

f (x) = f (- x)

zu eben diesen Gesetzmäßigkeiten gelangt.

Ferner wird hier an der Formel

f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 2

eine Achsensymmetrie zu einer beliebigen Parallelen zur y-Achse geprüft.

Wenn ich diese vereinfache wäre ich bei

f (x) = {(x - 0,5)}^{2} + 0,25,

korrekt? Danach verstehe ich aber nicht, wie ich mit

⊙ g

. Formel weiter rechnen soll bzw. was ich wo und wie einsetzen muss.

Könnte mir hier bitte jemand weiterhelfen? Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

09:11 Uhr, 04.07.2015

"Ich verstehe hier nicht ganz, wie man von der allgemeinen Form wie z.B.

f (x) = f (- x)

zu eben diesen Gesetzmäßigkeiten gelangt."

Der Weg ist umgekehrt,

f (x) = f (- x)

ist keine allgemeine Form, sondern ein besonderer Fall von

f (- x + b) = f (x + b)

, wenn

b = 0

.

Wenn

f (x) = (x - 0.5)^{2} + 0.25

, dann hast Du

f (- x + 0.5) = f (x + 0.5)

, wie man leicht nachprüft. Damit erfüllt

f

die Bedingung

f (- x + b) = f (x + b)

mit

b = 0.5

.

Übrigens,

4 x^{2} - 4 x + 2 \neq (x - 0.5)^{2} + 0.25

, damit ist es keine Vereinfachung. Aber es ist natürlich klar, dass

4 x^{2} - 4 x + 2 = 4 \cdot ((x - 0.5)^{2} + 0.25)

und

(x - 0.5)^{2} + 0.25

das gleiche Symmetrieverhalten haben.

Max139 aktiv_icon

11:35 Uhr, 04.07.2015

Aber ist denn nicht die allgemeine Form dann

f (- x + b) = - f (x + b)

?

Im Skript wird wie folgt vorgegangen

f (x) = 4 {(x - 0,5)}^{2} + 1

b = 0,5

(wieso nicht

- 0,5

? Weil die Gerade dann bei

0,5

im positiven Bereich liegt?) und

c = 1

(verständlich)

dann wird

f (- x + b) = - f (x + b)

angewandt

Linke Seite:

4 {(- x - 0,5 + 0,5)}^{2} + 1 = 4 x^{2} + 1

Reche Seite:

4 {(x - 0,5 + 0,5)}^{2} + 1 = 4 x^{2} + 1

Das verstehe ich wieder nicht. Es wird doch gesagt, dass auf der rechten Seite eines negatives Vorzeichen vor die Klammer gezogen werden muss? Dann hätte ich ja

- 4 x^{2} + 1

und es würde sich nicht mit der linken Seite decken. Auch verstehe ich nicht, wenn

b

tatsächlich

+ 0,5

ist und nicht

- 0,5,

wieso dann in den Klammern steht

x - 0,5 + 0,5,

wenn mir bspw. auf der rechten Seite

x + b

vorgegeben wird, und

b = 0,5

ist, wieso wird dann doch

- 0,5

genommen?

Hoffe meine Probleme sind dabei halbwegs zu verstehen.

Vielen Dank schonmal für die Antwort.

DrBoogie aktiv_icon

11:40 Uhr, 04.07.2015

"Aber ist denn nicht die allgemeine Form dann

f (- x + b) = - f (x + b)

?"

Das ist die allgemeine Form für Achsensymmetrie.

Deine anderen Fragen verstehe ich leider nicht.
Z.B. was meinst Du mit "warum

0.5

und nicht

- 0.5

?
Es ist halt so, dass

4 x^{2} - 4 x + 2 = (x - 0.5)^{2} + 1

und nicht

4 x^{2} - 4 x + 2 = (x + 0.5)^{2} + 1

.
Deshalb gilt für diese

f

f (x + 0.5) = f (- x + 0.5)

, aber eben nicht

f (x - 0.5) = f (- x - 0.5)

Max139 aktiv_icon

13:49 Uhr, 04.07.2015

Was ich daran nicht verstehe ist, dass der Wert von

0,5

ja negiert ist

(f (x) = {(x - 0,5)}^{2} + 1),

er nach dem Einsetzen jedoch positiv in der Formel steht

\to f (x + 0,5) = f (- x + 0,5)

Wieso wird denn dann auf der rechten Seite der Formel nicht der Ausdruck

f (- x + 0,5)

insgesamt auch negiert, wenn die allg. Formel der Achsensymmetrie dies vorsieht?

DrBoogie aktiv_icon

14:05 Uhr, 04.07.2015

"nach dem Einsetzen jedoch positiv in der Formel steht"

Weil Du das ausrechnen kannst und dann sehen, dass es stimmt.
Die Funktion

f (x) = a (x - b)^{2} + c

erfüllt die Bedingung

f (x + b) = f (- x + b)

, aber
nicht

f (x - b) = f (- x - b)

oder irgendeine andere.

Wenn Du eine "allgemeine Begründung" brauchst, dann ist sie diese:

x + b

und

- x + b

sind symmetrisch bezüglich der Achse

x = b

. Und dass

f (x) = a (x - b)^{2} + c

symmetrisch bzgl. der Achse

x = b

ist, lernt man in der Schule.

Aber ich rate Dich davon ab, Dich zu sehr auf "allgemeine Begründungen" zu verlassen. Mathematik ist keine Philosophie, die Fragen "warum" werden in der Mathematik meistens durch eine konkrete Berechnung beantwortet. Und wenn Du wenig Erfahrung hast, können Dich "allgemeine Begründungen" eher verwirren als Dir helfen.

Max139 aktiv_icon

11:47 Uhr, 05.07.2015

Ah okay, hab mir das nochmal genauer angeschaut, jetzt hat es auch "Klick" gemacht. Vielen Dank für die Mühen! :-)

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