Symmetrie

Der Graph einer Funktion kann die Eigenschaft haben symmetrisch zu verlaufen bezüglich einem Objekt, sprich einem Punkt oder einer Geraden. Symmetrisch bedeutet, dass man den Graphen der Funktion teilen kann in zwei "gleiche" Strecken, die eine entsteht dann durch Spiegelung der anderen am Symmetriepunkt bzw. an der Symmetriegeraden und umgekehrt.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Man nennt den Graphen einer Funktion achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse wenn für alle ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aus ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt:





Die y-Achse ist hier die Symmetrieachse.


Punktsymmetrie zum Ursprung

Man nennt den Graphen einer Funktion punktsymmetrisch bezüglich dem Koordinatenursprung, wenn für alle ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aus ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt:





Der Punkt ${\displaystyle \left(0|0\right)}$ ist hier der Symmetriepunkt.


Bestimmung der Symmetrie

In der Kurvendiskussion [mehr dazu] wird häufig gefragt ob eine Funktion Symmetrieeigenschaften aufweist. Folgen Ansätze sind dafür zu beachten:

Ansatz:


Anzatz:



Beispiele:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2}$
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^4-{(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2+2={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ist symmetrisch bzgl. der y-Achse.

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^5-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$
${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^5-{(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^3+(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^5+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^5-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\Rightarrow \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ist symmetrisch bzgl. dem Ursprung.


Allgemeine Achsensymmetrie

Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ falls für alle ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aus ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt:






Der Graph der obigen Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}$ ist symmetrisch bzgl. der Geraden ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{3}{2}}$.
Nachweis:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\cdot \frac{3}{2}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(3-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$
${\displaystyle ={(3-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2-3(3-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+2}$
${\displaystyle =9-6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-9+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}$
${\displaystyle ={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}$
${\displaystyle =\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$


Allgemeine Punktsymmetrie

Der Graph einer Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich einem Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ falls für alle ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aus ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt:






Der Graph der obigen Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}$ ist symmetrisch bzgl. dem Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1|2\right)}$.
Nachweis:

${\displaystyle 2\cdot 2-\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=4-[{(2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^3-3{(2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2+3(2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+1]}$
${\displaystyle =4-[(8-12\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3)-3(4-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)+(6-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+1]}$
${\displaystyle =4-(8-12\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-12+12\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+6-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}$
${\displaystyle ={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}$
${\displaystyle =\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$