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Analysis (Funktion dritten Grades)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Analysis, Funktion

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21:21 Uhr, 24.02.2016

Hallo zusammen,

im Anhang habe ich ein Arbeitsblatt angehängt, welches zu lösen ist. Kann mir jemand die Aufgaben

1 a)

bis

1 c)

vorrechnen und erklären?

Das wäre sehr nett, denn ich muss zugeben, dass ich es in keiner Weise verstehe.

Mit freundlichem Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Ma-Ma aktiv_icon

21:34 Uhr, 24.02.2016

Komplett vorrechnen werde ich Dir die Aufgabe nicht.
Ein bissl Eigeninitiative musst Du schon selber zeigen

...

.

Wollen wir Aufgabe

a)

gemeinsam rechnen ?
LG Ma-Ma

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21:36 Uhr, 24.02.2016

Danke für die schnelle Antwort.

Okay, dann rechnen wir sie gemeinsam. Klingt gut.

LG

Ma-Ma aktiv_icon

21:38 Uhr, 24.02.2016

Gesucht ist eine Funktion 3.Grades.

Allgemein lautet diese

f (x) = ...

. ?

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21:41 Uhr, 24.02.2016

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Sorry für die komische Form, aber ich habe keine Ahnung, wie ich Zahlen hochstelle. Ich hoffe, du kannst trotzdem nachvollziehen, was ich meine.

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21:45 Uhr, 24.02.2016

Passt.
(Lass zwischen dem a und dem

x

ein Leerzeichen

. .

. ebenso vor dem

+)

Jetzt schreibe darunter die 1. Ableitung.

(1

. Ableitung = Steigung

= m)

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21:47 Uhr, 24.02.2016

f´(x)=3a

x^{2} +

2ax

+ c

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21:53 Uhr, 24.02.2016

Bis dahin super.

Vorab schreib ich jetzt die Lösungsstrategie:

a)

Aufstellen allg. Gleichung

+

Ableitung(en)

... .

. erledigt

b)

Bedingungen aufschreiben

c)

Gleichungen aufschreiben

d)

GLS lösen

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

b)

Bedingungen aufschreiben: 4 Variablen

\to 4

Bedingungen

Versatzfrei: gesuchter Graph muss bei A und

B

ja anschließen

1) f (7) = 6

aus Punkt

A (7 | 6)

2) ...

. ?

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22:05 Uhr, 24.02.2016

Das mit den Bedingungen verstehe ich nicht. Wie komme ich auf die Bedingungen?

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22:12 Uhr, 24.02.2016

Okay, ab hier brauchst Du Hilfe.

Zuerst immer schauen, wieviele Variablen, hier

a, b, c

und

d

\to 4

Variablen, deshalb 4 Bedingungen, um 4 Gleichungen aufzustellen.

Versatzfrei,

d . h

. der gesuchte Graph muss an die Punkte A und

B

andocken.
Pkt

A (7 | 6), d . h

. der gesuchte Graph muss auch diesen Punkt beinhalten.

1.Bedingung)

f (x = 7) = 6

Jetzt versuche dies ebenfalls auf Punkt

B

anzuwenden.
2.Bedingung)

...

. ?

Kommst Du klar?

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22:14 Uhr, 24.02.2016

2. Bedingung:

f (x = 14) = 1

Stimmt das?

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22:17 Uhr, 24.02.2016

Passt.

1) f (7) = 6

aus Punkt

A (7 | 6)

2) f (14) = 1

aus Punkt

B (14 | 1)

Jetzt zum Thema "knickfrei",

d . h

. die Steigung

m

muss gleich sein.
(Übrigens

f' (x) = m)

Welche Steigung liegt am Punkt A vor?

m = ...

. ?

3) f' (7) = ...

. ?

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22:21 Uhr, 24.02.2016

m = 1

f´(7)

= 0

Stimmt das?

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22:25 Uhr, 24.02.2016

m = f' (x)

m = 1

bei Punkt A.

Neuer Versuch

. .

f' (7) = . .

. ?

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22:27 Uhr, 24.02.2016

f´(7)

= 1

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22:29 Uhr, 24.02.2016

Ja.

3) f' (7) = 1

4. Bedingung:

4) f' (14) = . .

. ?

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22:30 Uhr, 24.02.2016

f´(14)

= 1

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22:31 Uhr, 24.02.2016

Schaue nochmal auf den Punkt B.
Dort schliesst eine Gerade an.

Welche Steigung hat diese Gerade ?
Lege notfalls ein Lineal an

. .

. welche Steigung liegt vor ?

f' (14) = . .

. ?

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23:03 Uhr, 24.02.2016

f´(14)

= 0

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23:11 Uhr, 24.02.2016

Jepp.

Ich fasse die Bedingungen zusammen.

1) f (7) = 6

2) f (14) = 1

3) f' (7) = 1

4) f' (14) = 0

Diese Bedingungen finden sind ca.

1 min

Aufwand

. .

- - - - - - - - - - - - -

Der Rest ist nur schnöde Schreibarbeit und Rechnerei.

Gleichungen aus den Bedingungen aufstellen:

I)

6 = a \cdot 7^{3} + b \cdot 7^{2} + c \cdot 7 + d

usw. usf.

Danach GLS lösen.

Ich glaube, dass können wir uns hier und heute sparen

. .

.
LG Ma-Ma

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17:32 Uhr, 25.02.2016

Die Gleichungen aus den Bedingungen wären dann doch:

6 = a \cdot 7^{3} +

b⋅

7^{2} +

c⋅7

+ d

1 = a \cdot 14^{3} + b \cdot 14^{2} + c \cdot 14 + d

1 = a \cdot 7^{3} + b \cdot 7^{2} + c \cdot 7 + d

0 = a \cdot 14^{3} + b \cdot 14^{2} + c \cdot 14 + d

Oder nicht?

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17:45 Uhr, 25.02.2016

Bitte arbeite sorgfältiger.
Desweiteren nummeriere die Gleichungen durch.

I) .. hatte ich Dir bereits aufgeschrieben
II) stimmt
III)

...

. falsch

. .

. schaue auf die Bedingung (3)

. .

f'

wird genutzt
IV)

...

. falsch

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17:59 Uhr, 25.02.2016

III)

3 a \cdot 7^{2} + 2 b \cdot 7 + c \cdot 7 + d

IV)

3 a \cdot 14^{2} + 2 b \cdot 14 + c \cdot 14 + d

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18:05 Uhr, 25.02.2016

Oh man

. .

. *kopfschüttel*

f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

und jetzt nur das

x

mit einer Zahl belegen

. .

. und nix weiteres hinzuschummeln

. .

.

III)

1 = 3 a \cdot 7^{2} + ...

. ?
IV)

...

. ?

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18:10 Uhr, 25.02.2016

III)

1 = 3 a \cdot 7^{2} + 2 b \cdot 7 + c

IV)

0 = 3 a \cdot 14^{2} + 2 b \cdot 14 + c

Ma-Ma aktiv_icon

19:07 Uhr, 25.02.2016

Jepp, jetzt hast Du alle Gleichungen richtig.

Nun das GLS auflösen und die Variablen

a, b, c

und

d

bestimmen.

Das wird Dich einiges an Rechenarbeit kosten.
Kann man natürlich auch über Online-Rechner machen, aber Du bereitest Dich
ja wohl gerade auf das Abitur vor, da ist ein bissl selber üben garnicht
verkehrt

...

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19:10 Uhr, 25.02.2016

Jede Gleichung einzeln oder muss ich die zusammenfassen?

Ma-Ma aktiv_icon

19:17 Uhr, 25.02.2016

Du hast ein Gleichungssystem (GLS).

Wie man soetwas löst, sollte in der 13.Klasse bekannt sein.
(Einfache GLS lösen, ist Schulstoff ab 7.Klasse.)

Wenn Du das nicht kannst, so schau Dir evtl. auf Youtube an, wie man soetwas macht.
(Mal abgesehen, dass ihr das doch schon zigmal bei anderen Kurvendiskussionen gemacht habt

. .

. oder hast Du nie selber gerechnet?)

LG Ma-Ma

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21:11 Uhr, 25.02.2016

Kannst du mir einen Ansatz geben?

Ich habe mir gerade einige Videos angesehen und Anleitungen durchgelesen, aber ich verstehe nicht, wie ich das auf mein GLS übertragen soll.

Ma-Ma aktiv_icon

21:33 Uhr, 25.02.2016

Vorschlag:
Mache ein neues Thema auf und schreibe dort Deine 4 Gleichungen rein.
Bitte schön durchnummerieren!

Bestimmt finden sich Helfer, die das Ganze mit Dir zusammen machen oder
die passenden Tipps geben.

Desweiteren erhälst Du sicherlich auch einen Link zu einem Online-Rechner,
der das LGS automatisch ausrechnet.

Entscheiden musst Du für Dich, ob Du das für Deine Prüfung können möchtest oder
auf diese Punkte verzichtest und das GLS nicht löst

...

.

LG Ma-Ma

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22:00 Uhr, 25.02.2016

Jetzt habe ich folgende Lösungen für die GLS:

a = \frac{1}{73}

b = - \frac{283}{1022}

c = \frac{140}{73}

d = \frac{5883}{511}

Roman-22

22:58 Uhr, 25.02.2016

Das ist leider falsch.
Die richtige Lösung hast du ohnedies auf deinem Angabeblatt stehen.
Es ist die Gleichung, die vor Teilaufgabe

b)

steht.

Nach welcher Methode hast du dein GLS gelöst?
Möchtest du deine Rechnung hier einstellen bzw einen neuen Thread eröffnen und dort deine Rechnung zum Fehler suchen reinstellen?

R

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16:50 Uhr, 26.02.2016

Ich habe den Fehler gerade selbst entdeckt und die Gleichung gelöst.

Gelöst habe ich das GLS jetzt als Matrix.

Als Lösung habe ich jetzt:

0,49 - 1,63 + 16,57 - 47

als Dezimalzahlen

und als Bruch:

\frac{17}{343} - \frac{80}{49} + \frac{116}{7} - 47

Stimmt anscheinend.

Vielen Dank für die Hilfe.

Kann mir jemand einen Ansatz für Aufgabe

b

und

c

geben, damit ich mich an denen versuchen kann?

Danke im voraus

Roman-22

19:38 Uhr, 26.02.2016

b)

Die Windrose (Kompassrose) zeigt dir doch an, wo Norden ist. Wir würden den nördlichsten Punkt vielleicht eher als den höchsten Punkt der Kurve bezeichnen. Wie man so ein Maximum findet, ist dir sicher bekannt.

Und an welche besonderen Punkten einer Kurve ist denn die Krümmung Null?
Der Aufgabensteller hat hier wohl vergessen, zu erwähnen, dass ihn diesbezüglich nur die neue Trasse zwischen A und

B

interessiert, den sonst wären die Bereiche

2 \leq x \leq 7

und

x \geq 14

auch Lösung dieser Aufgabe ;-)

Generell ist es sicherlich günstig, wenn du die Kurve einmal zeichnen würdest. Das sollte auch bei Teilaufgabe

c)

helfen und ist dort ja ohnedies verlangt.
Den "Anstieg" der Trasse bei

x = 10

kannst du sicher bestimmen und den Anstieg der Normalen im Punkt

(10 / f (10))

dann wohl auch. Die Gleichung der Normalen sollte dann leicht aufzustellen sein und deren Funktionswert an der Stelle

12

ist eben gefragt.

R

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18:42 Uhr, 28.02.2016

Danke für die Antwort.

Ich habe mir die Funktion gerade zeichnen lassen, aber der Graph sieht überhaupt nicht so aus, wie in der Aufgabenstellung (siehe Anhang). Was mache ich falsch?

Die Krümmung ist am Anfang und am Ende der Kurve null oder nicht?

Roman-22

19:38 Uhr, 28.02.2016

Da wirst du ja wohl noch kräftig an Zoom und Skalierung arbeiten müssen um dem Display etwas Brauchbares zu entlocken. Die Standardeinstellungen deines TR sind hier augenscheinlich für unsere Zwecke nicht brauchbar. Voraussetzung ist, dass du die richtige Funktionsgleichung eingegeben hast.

Und, nein, am "Anfang" und am "Ende" (wo immer das auch sein mag) ist die Krümmung NICHT Null. Du hast es mit einer kubischen Parabel zu tun. Die hat genau einen Wendepunkt und nur an dieser Stelle ist die Krümmung Null.

R

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16:48 Uhr, 29.02.2016

Okay, jetzt habe ich die Aufgabe fertig und richtig.

Vielen Dank für die Hilfe.

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