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Anwendung der Taylorreihen in der Physik

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionen

Tags: Folgen, Funktion, Reihen, Taylorentwicklung

Chica-Rabiosa aktiv_icon

02:21 Uhr, 27.12.2012

Gute Nacht. Ich stehe vor der Aufgabe:

Nach der speziellen Relativitätstheorie gilt für Teilchen der Masse

m

die folgende Beziehung zwischen Energie

E

und Implus

p,

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}},

wobei

c

die Lichtgeschwindigkeit ist. Berechnen Sie die ersten drei nichtverschwindenden Terme der Taylorreihe

E (p)

für kleine

p,

wobei

m

und

c

positive Konstanten sind. Können Sie in dieser Entwicklung aus der klassischen Mechanik bekannte Formeln erkennen?

Also ich beschäftige mich jetzt einige Tage mit Taylorentwicklung und Taylorreihen. Wo liegt jetzt eigentlich der Unterschied Taylorentwicklung = Taylorreihen eher Taylorentwicklung

\neq

Taylorreihen ? Aber was heißt das genau?

Und zur Aufgabe wie kann den die Funktion

E (p)

entwickeln ?

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} = {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}}

E' (p) = \frac{1}{2} {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 p c^{2}

Stimmt so die Ableitung ? Was ist denn hier unser Entwicklungspunkt?

Liebe & dankende Grüße

Chica Rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Bummerang

13:15 Uhr, 27.12.2012

Hallo,

die Ableitung stimmt schon mal und der Entwicklungspunkt ergibt sich aus den Worten: "... für kleine

p,

Chica-Rabiosa aktiv_icon

01:42 Uhr, 28.12.2012

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} = {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}}

E' (p) = \frac{1}{2} {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 p c^{2} = \frac{p c^{2}}{{(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}}}

E'' (p) = \frac{c^{2} \cdot {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 p c^{2}}{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} = \frac{c^{2} \cdot {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}} - p c^{2} {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot}{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} =

Wie kann ich das jetzt kürzen ? Das geht doch oder?

Bummerang schrieb

p

ist mein Entwicklungspunkt? Aber was ist

p

jetzt genau

p = 0, p = 1

muss ja für das erste Glied

f (x_{0})

angebeben ?

Danke Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

22:12 Uhr, 30.12.2012

Weiß jemand vielleicht da weiter, weil ich stehe schon seit längerer Zeit auf'm Schlauch. Danke im Voraus.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

15:08 Uhr, 31.12.2012

"13:15 Uhr,

27.12.2012

Hallo, die Ableitung stimmt schon mal und der Entwicklungspunkt ergibt sich aus den Worten: "... für kleine

p,

..." Wenn Du jetzt das erste Glied der taylorreihe berechnest, dann erkennst Du auch, warum man hier von den "ersten drei nichtverschwindenden" Termen spricht und nicht einfach von den ersten drei Termen.." Zitat von Bummerang?

Wie soll ich denn das erste Glied der Taylorreihe berechnen, wenn der Entwicklungspunkt nicht gegeben ist?

x_{0}

bzw.

p_{0}

ist nicht gegeben

: (

Ich komme an dem Punkt einfach nicht weiter

: (

für so eine Aufgabe brauche ich fast eine Woche...

: (

und sie ist immer noch nicht fertig

: 0

lepton

18:33 Uhr, 01.01.2013

1. Ersetze bitte dein m in E durch

m_{0}

, da der erste Term die Ruheenergie des Teilchens ist, sonst hätten wir keinen rel. Fall!
2. für kleine Impulse ist gemeint, dass

∣ p ∣ < < m_{0} c

gilt, da offenbar aus der relativistischen Beziehung folgendes folgt:

\frac{p^{2}}{m_{0}^{2} c^{2}} < < 1

Jetzt kannst du o.B.d.A.

p \approx 0

setzen und dein Taylorpolynom 2. Grades berechnen. Hierbei reicht nämlich Grad 2 aus, da die Terme für große p gegen Null konvergieren. Man erkennt dadurch auch, dass dann die typische klassische Näherung für die Energie-Impuls-Beziehung folgt, so dass man für

∣ p ∣ < < m_{0} c

die Summe aus der kinetischen Energie und der Ruheenergie des Teilchens erhält.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

04:10 Uhr, 02.01.2013

Aber nur im ersten Term für

m \to m_{0}

einsetzen ?

E (p) = \sqrt{m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} = {(m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}}

\Rightarrow E (0) = {(m_{0}^{2} c^{4})}^{\frac{1}{2}}

E' (p) = \frac{1}{2} {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 p c^{2} = \frac{p c^{2}}{{(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}}}

\Rightarrow E' (0) = 0

E'' (p) = \frac{c^{2} \cdot {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 p c^{2}}{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} = \frac{c^{2} \cdot {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{\frac{1}{2}} - p c^{2} {(m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot}{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} =

Mit dem Kürzen weiß ich immer noch nicht. Einmal haben wir hoch

\frac{1}{2}

stehen einmal hoch

- \frac{1}{2}

. Dann geht's doch nicht, oder?

Danke vielmals Rabiosa.

DerDepp aktiv_icon

13:16 Uhr, 02.01.2013

Hossa ;-)

Ich hoffe, die Aufgabe ist noch aktuell. Ist ja vermutlich eine Weihnachtsübung...

Bei einer Taylor-Entwicklung für eine Funktion

f (x)

betrachtet man eine besonders interessante Stelle

x_{0}

und nähert dort die Funktion

f (x)

durch eine mathematisch einfach zu handhabende Funktion

t (x)

("t" für "Taylor") an. Man schaut quasi als "Ameise" auf die Funktion an einer interessierenden Stelle. Die 0-te Näherung wäre eine Konstante, also:

t (x) \approx f (x_{0})

Die 1-te Näherung wäre eine Gerade. Als Steigung der Geraden an der Stelle

x_{0}

wählt man die Ableitung der Funktion

f (x_{0})

. An der Stelle

x

ist man vom Punkt

x_{0}

das kleine Stück

(x - x_{0})

entfernt. Der Funktionswert

f (x_{0})

ändert sich gemäß des Steigungsdreiecks um

f ʹ (x_{0}) \cdot (x - x_{0})

. Also lautet die Geradengleichung:

t (x) \approx f (x_{0}) + f ʹ (x_{0}) \cdot (x - x_{0})

Die 2-te Näherung wäre eine Parabel:

t (x) \approx f (x_{0}) + f ʹ (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + \frac{1}{2} f ʺ (x_{0}) \cdot (x - x_{0})^{2}

Man kann dies bis zur n-ten Näherung fortführen:

t (x) \approx f (x_{0}) + f ʹ (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + \frac{1}{2} f ʺ (x_{0}) \cdot (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})^{n}

wobei

f^{(n)} (x_{0})

die n-te Ableitung an der Stelle

x_{0}

ist. Da man die Funktion

f (x)

jedoch in einem kleinen Bereich

x_{0}

näher betrachten möchte (Ameisen-Perspektive), bricht man die Entwicklung in der Regel bei recht kleinen Werten für

n

ab.

Man kann die Entwicklung auch auf die Spitze treiben und unendlich viele Terme summieren. In dem Fall bekommt man die Taylor-Reihe. Aus dem Ungefähr-Zeichen wird dann ein Gleichheits-Zeichen:

t (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})^{k}

Taylor-Reihen haben eigentlich nur akademische Bedeutung, werden in der Mathematik oft für Beweise verwendet. Real oder physikalisch spielen sie keine Rolle, weil man keine unendlich langen Berechnungen durchführen kann und daher die Summation irgendwann abbrechen muss.

Nun zu deiner Aufgabe:

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}}

Diese Funktion soll für kleine

p

um die Stelle

p_{0} = 0

herum durch eine Taylor-Entwicklung mit den ersten 3 nicht-verschwindenden Summanden dargestellt werden. Um Schreibarbeit zu sparen, vereinfachen wir die Gleichung zunächst, indem wir den Impuls

p = m v

durch die Geschwindigkeit

v

ersetzen (die Masse

m

soll ja konstant sein). Im Endergebnis setzen wir dann

p

wieder ein:

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} = \sqrt{m^{2} c^{4} + m^{2} v^{2} c^{2}} = \sqrt{m^{2} c^{4} (1 + \frac{m^{2} v^{2} c^{2}}{m^{2} c^{4}})} = m c^{2} \sqrt{1 + {(\frac{v}{c})}^{2}} = E (v)

Wir müssen um

v = 0

herum entwickeln. Dazu brauchen wir die Taylor-Entwicklung der Funktion

f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}

mit

x := \frac{v}{c}

x = 0

herum (

c

ist ja konstant). Da

f (0) = 1

ist, brauchen wir nur so lange abzuleiten, bis wir zwei Mal einen von Null verschiedenen Wert für

f^{(n)} (0)

erhalten:

f ʹ (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \Rightarrow f ʹ (0) = 0

f ʺ (x) = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{3 / 2}} \Rightarrow f ʺ (0) = 1

f ‴ (x) = - \frac{3 x}{{(1 + x^{2})}^{5 / 2}} \Rightarrow f ‴ (0) = 0

f^{(4)} (x) = \frac{3 (4 x^{2} - 1)}{{(1 + x^{2})}^{7 / 2}} \Rightarrow f^{(4)} (0) = - 3

Damit erhält man die gesuchte Taylor-Entwicklung der Wurzelfunktion um die Stelle

x_{0} = 0

f (x) \approx f (0) + f ʹ (0) \cdot x + \frac{1}{2!} f ʺ (0) \cdot x^{2} + \frac{1}{3!} f ‴ (0) \cdot x^{3} + \frac{1}{4!} f^{(4)} (0) \cdot x^{4}

durch einsetzen:

\sqrt{1 + x^{2}} \approx 1 + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8}

Nun bauen wir alles zusammen indem wir zuerst

x = \frac{v}{c}

einsetzen:

\sqrt{1 + {(\frac{v}{c})}^{2}} \approx 1 + \frac{v^{2}}{2 c^{2}} - \frac{v^{4}}{8 c^{4}}

mit

m c^{2}

multiplizieren:

E (v) \approx m c^{2} \cdot (1 + \frac{v^{2}}{2 c^{2}} - \frac{v^{4}}{8 c^{4}}) = m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{m v^{4}}{8 c^{2}}

(hier erkennt man gut den Term für die kinetische Energie

\frac{1}{2} m v^{2}

) und schließlich

p = m v

bzw.

v = \frac{p}{m}

wieder einsetzen:

E (p) \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m \frac{p^{2}}{m^{2}} - \frac{m p^{4}}{8 m^{4} c^{2}} = m c^{2} + \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{p^{4}}{8 m^{3} c^{2}}

Ok?

Chica-Rabiosa aktiv_icon

01:55 Uhr, 04.01.2013

Süper muchas gracias.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

01:55 Uhr, 04.01.2013

Süper muchas gracias.

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22:14 Uhr, 07.01.2013

Ich habe es mir nach längerer Zeit mal wieder angeguckt und weiß gewisse Schritte nicht mehr...

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{2} + p^{2} c^{2}} = \sqrt{m^{2} c^{2} + m^{2} v^{2} c^{2}} =

Wieso wurde jetzt aus dem

+

Zeichen ein

\cdot

Zeichen?

= \sqrt{m^{2} c^{2}! m^{2} v^{2} c^{2}} =

???

Des weiteren

= \sqrt{m^{2} c^{2} m^{2} v^{2} c^{2}}

das Ausklammern ist klar aber danach...

= \sqrt{m^{2} c^{4} (1 + \frac{m^{2} v^{2} c^{2}}{m^{2} c^{4}})} = . .

. wie kann man denn das aus der Wurzel ziehen ??? Verstehe ich gar nicht, weiß ich gar nicht mehr wie ich das verstanden habe...

= m c^{2} \sqrt{1 + {(\frac{v}{c})}^{2}} = E (v)

Und wieso ist das

= E (v)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

22:15 Uhr, 07.01.2013

Ich habe es mir nach längerer Zeit mal wieder angeguckt und weiß gewisse Schritte nicht mehr...

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{2} + p^{2} c^{2}} = \sqrt{m^{2} c^{2} + m^{2} v^{2} c^{2}} =

Wieso wurde jetzt aus dem

+

Zeichen ein

\cdot

Zeichen?

= \sqrt{m^{2} c^{2}! m^{2} v^{2} c^{2}} =

???

Des weiteren

= \sqrt{m^{2} c^{2} m^{2} v^{2} c^{2}}

das Ausklammern ist klar aber danach...

= \sqrt{m^{2} c^{4} (1 + \frac{m^{2} v^{2} c^{2}}{m^{2} c^{4}})} = . .

. wie kann man denn das aus der Wurzel ziehen ??? Verstehe ich gar nicht, weiß ich gar nicht mehr wie ich das verstanden habe...

= m c^{2} \sqrt{1 + {(\frac{v}{c})}^{2}} = E (v)

Und wieso ist das

= E (v)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

22:15 Uhr, 07.01.2013

Ich habe es mir nach längerer Zeit mal wieder angeguckt und weiß gewisse Schritte nicht mehr...

E (p) = \sqrt{m^{2} c^{2} + p^{2} c^{2}} = \sqrt{m^{2} c^{2} + m^{2} v^{2} c^{2}} =

Wieso wurde jetzt aus dem

+

Zeichen ein

\cdot

Zeichen?

= \sqrt{m^{2} c^{2}! m^{2} v^{2} c^{2}} =

???

Des weiteren

= \sqrt{m^{2} c^{2} m^{2} v^{2} c^{2}}

das Ausklammern ist klar aber danach...

= \sqrt{m^{2} c^{4} (1 + \frac{m^{2} v^{2} c^{2}}{m^{2} c^{4}})} = . .

. wie kann man denn das aus der Wurzel ziehen ??? Verstehe ich gar nicht, weiß ich gar nicht mehr wie ich das verstanden habe...

= m c^{2} \sqrt{1 + {(\frac{v}{c})}^{2}} = E (v)

Und wieso ist das

= E (v)

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