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Approximation der Funktion f(x)=ln(x) in x0=1

Schüler Sonstige, 12. Klassenstufe

Tags: Taylor, Taylor Approximation, Taylorpolynom, Taylorreihe

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22:02 Uhr, 21.12.2015

Hallo,

ich schlage mich momentan mit einer Aufgabenstellung welche lautet,

"Erklären Sie die Approximation einer Funktion durch eine Taylorreihe am Beispiel der Funktion

f (x) = ln (x)

an der Stelle x0=1"

Nun Frage ich mich, inwiefern man

f (x) = ln (x)

approximieren kann?

Ich verstehe nun so gut wie nichts mehr; und wäre über einen Lösungsvorschlag dankbar.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

22:26 Uhr, 21.12.2015

Du musst nur einfach die Taylorreihe berechnen.

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22:40 Uhr, 21.12.2015

Also dann;

f (x - 1) = f (1) +

f´(1)+ f´´(1)/2!+ f´´´(1)/3!+ f´´´´(1)/4!+ f´´´´´(1)/5!.....

Mir scheint dann selber nicht klar was zu erklären war.

Also um so weiter ich die Reihe fortführe, umso genauer wird sie zu Ln(x)?

Roman-22

23:12 Uhr, 21.12.2015

Links wär

f (x)

besser und im Rechtsterm würden sich ein paar strategisch günstig eingestreute Potenzen von

(x - 1)

ganz gut machen.
Schlag doch die Formel für Taylorreihen nach!
Es ist eine Potenzreihe und da gehören nun mal Potenzen der unabhängigen Variablen

x

dazu. Ansonsten könnte die Reihe ja kaum eine ganze Funktion ersetzen, bzw. bei Abbruch an einer Stelle diese nähern.

Wenn du die Potenzreihe für

ln (x)

richtig bestimmt hast, solltest du dich um die Bestimmung des Konvergenzradius kümmern. IdR ist eine Taylorreihe nur in einem bestimmten Bereich um den Entwicklungspunkt konvergent und kann daher auch nur in diesem Bereich die Funktion ersetzen. Wenn du den Radius bestimmt hast, dann musst du die Grenzen idR noch gesondert untersuchen. Das kann trickreich sein, ist aber in diesem Beispiel zum Glück sehr einfach.

Nachdem du offenbar ein wenig allgemein über Taylorreihen und Approximation referieren sollst, gehört die Abschätzung des bei einer Näherung gemachten Fehlers wohl auch dazu

(\to

Restglied). Hier hast du es speziell mit einer alternierenden Reihe zu tun, sodass du auch einfach den Fehler mit dem nächsten Glied abschätzen kannst.

Zu all den Themen findest du sicher die entsprechenden Informationen in deinen Unterlagen, falls nicht, empfehle ich, Zeit in der Bibliothek zu verbringen. Internet sollte dann der letzte Ausweg sein.

Ach ja, ein paar plots zur Verdeutlichung können vermutlich auch nicht schaden.

R

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22:16 Uhr, 22.12.2015

Erstmals Danke für deine Antwort und Korrektur.

Dann hieße es korrekt;

f (x) = 0 +

f´(1)/1!*(x-1)+ f´´(1)/2!*(x-1)^2+ f´´´(1)/3!*(x-1)^3....

gekürzt

f (x) = (x - 1) + {(x - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{3} ...

.

Soweit korrekt?

Roman-22

23:00 Uhr, 22.12.2015

>

Soweit korrekt?
Leider nein!

Die allgemeine Formel ist falsch, weil da am Beginn nicht 0 steht, sondern

f (1)

. Das ist nur speziell für deine Funktion Null.

Und auf dem Weg zur Reihe für

ln (x)

scheint dir auch der eine andere andere Fehler passiert zu sein. Welcher, das kann man nicht feststellen, da du ja nur das Endergebnis angibst und das ist falsch.
Das richtige Ergebnis findest du eigentlich in jeder besseren Formelsammlung.

R

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11:22 Uhr, 23.12.2015

Hallo Roman,

erneut Danke für deine Mühe und ich bitte um etwas Geduld mit mir ;-).

abgesehen von der

0,

da sie in meinem Fall stimmt, habe ich folgendes nachgeschlagen

f (x) = 0 + 1 (x - 1) + \frac{- 1 {(x - 1)}^{2}}{2}! + 2 \frac{{(x - 1)}^{3}}{3}! + \frac{- 3 \cdot 2 {(x - 1)}^{4}}{4}! + 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{{(x - 1)}^{5}}{5}! . .

f (x) = 1 (x - 1) - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{3} - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{4} + \frac{1}{5} \cdot {(x - 1)}^{5}

Ich hoffe nun es ist richtig.
Erstes ist die Taylorreihe und letzteres das Taylorpolynom 5ten Grades.

Und nun muss ich noch das Restglied bestimmen.

Roman-22

14:11 Uhr, 23.12.2015

Die Faktoriellen-Symbole "!" gehören noch in den Nenner (war sicher so gemeint du musst dazu eben Klammern setzen), ansonsten ist das jetzt richtig.

Wäre allerdings sicherlich schön, wenn du die Reihe für

ln (x)

nicht bloß nachgeschlagen, sondern selbst ermittelt hättest.

>

letzteres das Taylorpolynom 5ten Grades
ja, und wie das aussieht, siehst du im dritten Plot im Anhang meiner ersten Antwort.

>

Und nun muss ich noch das Restglied bestimmen.
Das weiß ich nicht - ich kenne den genauen Wortlaut deiner Aufgabenstellung nicht.
Eine Fehlerabschätzung könnte man hier auch ganz einfach, wie schon geschrieben, mit dem nächsten Glied

\frac{{(x - 1)}^{6}}{6}

vornehmen - der Fehler ist sicher kleiner als dieses (weil alternierende Reihe).

Aber ich vermute stark, dass du auf jeden Fall feststellen sollst, für welche Werte von

x

die Reihe nun wirklich den

ln (x)

darstellt, für welche x-Werte die Reihe also konvergiert. Stichwort: Konvergenzradius.
Beispielsweise wirst du zB

ln (e)) = 1

mit dieser Reihe leider nicht berechnen können.
Du erkennst ja schon an meinen plots, was sich da abspielt.

R

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21:05 Uhr, 25.12.2015

Hallo Roman

ich versuche gerade den Konvergenzradius zu bestimmen

Formel

R = lim n

gegen 0 an/an+1

Wenn wir es jetzt wie gesagt mit

\frac{{(x - 1)}^{6}}{6}

machen, was wäre dann mein an?

MfG

Roman-22

21:24 Uhr, 25.12.2015

Die

a_{n}

sind nur Koeffizienten, da haben die Potenzen der Variablen

x

nichts mehr zu suchen. Und was du mit dem Glied

\frac{{(x - 1)}^{6}}{6}

da willst, ist mir schleierhaft.
Der Konvergenzradius kann sich immer nur auf die ganze, unendliche Reihe beziehen.
Der Wert, denn du mit

r = lim_{n \to \infty} | (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}) |

erhältst, musst du dann in

| x - x_{0} | < r

einsetzen (bei dir

x_{0} = 1),

und hast somit gesichert, dass für

x \in] x_{0} - r; x_{0} + r [

Konvergenz zu erwarten ist.
Danach sind die beiden Intervallsgrenzen noch abzuklären.

Vergleiche die allgemeine Schreibweise

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} [a_{n} \cdot {(x - x_{0})}^{n}]

mit der Reihe, die du da vorliegen hast und schreib zunächst einmal auf, was deiner Meinung nach nun

a_{n}

und

a_{n + 1}

sind und wie du den Grenzwert des Quotienten zu ermitteln denkst.

R

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11:43 Uhr, 26.12.2015

Hallo,

ich habe mir da dieses Video angeschaut: www.youtube.com/watch?v=2VckMlCYMYc

Meine Summenformel: f(x)=∞∑n=0

f^{n} \cdot \frac{{(x - 1)}^{n}}{n!}

Ich meine somit mein an sei

n!

und an+1

n + 1,

verstanden habe ich es dennoch nicht ganz.
Soweit falsch?

Roman-22

12:28 Uhr, 26.12.2015

>

Soweit falsch?
Leider ja.

In der Summenformel (siehe dazu

\to

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf ) für deine spezielle Reihe darf ja nun nicht mehr die allgemeine Funktionsbezeichnung

f

vorkommen. Das hast du doch alles schon berechnet, oder? Und dieses

f^{(n)} (1)

ist ja ein ganz konkreter (natürlich von

n

abhängiger) Wert und der gehört noch zum Koeffizienten dazu.

Was also ist der Koeffizient des n-ten Glieds? Also jenes Glieds, mit der Potenz

{(x - 1)}^{n}

. Und falls das nicht klar sein sollte - der Koeffizient ist das, womit diese Potenz multipliziert wird.
Um das Vorzeichen musst du dich letztlich nicht kümmern, denn die Formel für den Konvergenzradius (der immer ein positiver Wert ist), wird ohnedies der Betrag drübergestülpt.

Was steht also bei

{(x - 1)}^{n}

dabei und was bei

{(x - 1)}^{n + 1}

R

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20:22 Uhr, 26.12.2015

>

In der Summenformel (siehe dazu → www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf ) für deine spezielle Reihe darf ja nun nicht mehr die allgemeine Funktionsbezeichnung

f

vorkommen.

Welches

f

ist nun gemeint, in oder vor der Formel?

>Das hast du doch alles schon berechnet, oder? Und dieses

f (n) (1)

ist ja ein ganz konkreter (natürlich von

n

abhängiger) Wert und der gehört noch zum Koeffizienten dazu.

Wenn du zuvor gesagt hast, dass sich der Konvergenzradius immer nur auf die ganze, unendliche Reihe beziehen kann, wie kann der dann noch von

n

abhängig sein. Ich kann ja für

n

folglich nichts einsetzen. Oder denke ich da falsch.

Ich stocke gerade sehr und würde auch noch gerne wissen, ob die Fakultät auch zum Koeffizienten gehört?

Danke für deine Hilfe

\frac{;}{}

Roman-22

22:18 Uhr, 26.12.2015

Es geht um deine ganz konkrete Reihe:

ln (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cdot {(x - 1)}^{n}]

Diese Reihe (speziell also die

a_{n})

hast du doch schon hergeleitet, bzw., wie ich befürchte, bloß einer Formelsammlung entnommen.
Siehe dein eigener Beitrag vom

23.12 ., 11 : 22

Uhr.
Was steht dann da vor dem

{(x - 1)}^{3},

was steht vor

{(x - 1)}^{4}

und was wird wohl vor

{(x - 1)}^{n}

und vor

{(x - 1)}^{n + 1}

stehen?
Jedenfalls sollst du nun nur für deine Reihe ganz konkret die Koeffizienten

a_{n}

und

a_{n + 1}

angeben (die sind natürlich noch von

n

abhängig) und dann endlich den Grenzwert

r = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

bestimmen!

R

P . S . :

Natürlich gehören auch die Fakultäten zum Koeffizienten. Alles, was bei den Potenzen

{(x - 1)}^{n}

multiplikativ dabei steht gehört dazu, auch der Vorzeichenwechsler

{(- 1)}^{n - 1}

. Nur wird letzterer wegen des Betrags in der Konvergenzradius-Formel eben keine Rolle spielen.

P . P . S . :

Hast du in deiner Reihe eigentlich noch Fakultäten? Überleg dir doch einmal, wie deine Reihe ganz konkret aussieht. Schreib dir (nochmals) die ersten paar Glieder auf, falls du es schon wieder vergessen hast.

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23:00 Uhr, 28.12.2015

Also ich fange langsam an an mir zu zweifeln.

>Was steht dann da vor dem (x−1)3, was steht vor (x−1)4 und was wird wohl vor (x−1)n und vor (x−1)n+1 stehen?
Davor steht

\frac{1}{3}, \frac{1}{4},

und dann wohl

\frac{1}{n}

und

\frac{1}{n} + a

stehen?!. Welches ist aber nun mein Koeffizient da ich ja mehrere zur Auswahl habe?

MfG

Roman-22

01:18 Uhr, 29.12.2015

>

Davor steht

13,14,

und dann wohl

1 n

und

1 n + a

stehen?!.
Äh, ja, fast. Wir können und sicher anstelle von

\frac{1}{n} + a

auf

\frac{1}{n + 1}

einigen oder?
Außerdem gibts da noch alternierende Vorzeichen, die auch zu den Koeffizienten dazu gehören (auch wenn sie auf den Konvergenzradius keinen Einfluss haben).

>

Welches ist aber nun mein Koeffizient da ich ja mehrere zur Auswahl habe?
"Dein" Koeffizient????
Die Frage ist doch eher, was ist

a_{n}

und was ist

a_{n + 1},

oder? Und das sollte doch nun klar sein.

Du sollst doch

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

berechnen.

Also setze da deine neuesten Erkenntnisse ein und ermittle den Grenzwert.

R

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15:19 Uhr, 30.12.2015

Hallo,

also ich habe jetzt folgendes

r = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n + 1}} |

r = \frac{1 (n + 1)}{n \cdot 1}

r = \frac{n}{n} + \frac{1}{n}

gesprochen unendlich große Zahl durch unendlich große Zahl

+ 1

durch unendlich große Zahl, daher

r = 1 + 0

r = 1

(x 0 - r; x 0 + r)

ergibt ja

(1 - 1; 1 + 1)

0 und 2
Also konvergiert meine Reihe für den Bereich 0 bis

2,

wobei ich noch nicht weis ob inklusive beider Zahlen.

| x - x 0 | < r

x - 1 < 1

Würde ja nicht ganz stimmen, da

1 = 1

ist.

Roman-22

11:32 Uhr, 31.12.2015

> r = 1

>

Also konvergiert meine Reihe für den Bereich 0 bis

2,

wobei ich noch nicht weis ob inklusive beider Zahlen.
Endlich! Ja das ist jetzt richtig.

> | x - x 0 | < r

?????
Wozu schreibst du das jetzt hier an? Du kannst natürlich deine obige Aussage auch so formulieren, dass du sagst: Die Reihe ist sicher konvergent für alle Werte

x,

für die

| x - 1 | < 1

gilt. Das ist auch richtig, aber wozu würdest du das jetzt noch so ausdrücken wollen?

> x - 1 < 1

Würde ja nicht ganz stimmen, da

1 = 1

ist.
Hähhh?????? Warum widerspricht deiner Meinung nach die Forderung

x < 2

der Identität 1=1?? Und was soll die ganze Zeile überhaupt? Worum gehts?

Du sollst doch jetzt die Fälle

x = 0

und

x = 2

untersuchen!

R

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23:44 Uhr, 16.01.2016

Danke Roman für deine Hilfe! Ich hätte es mir "selbst" sonst nicht beibringen können.

Falls du noch Lust hast kannst du mich bei meiner nächsten Frage über die Approximation von Sin-, Cos-, und e-Funktionen helfen. ;-)

MfG

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