Assoziativität Faltungsprodukt, Faltungsintegral

Hallo zusammen,

im Folgenden geht es um die Assoziativität mit einer skalaren Multiplikation bei einem Faltungsintergral.

Ich nehme für das Faltungsintergral an: ${\displaystyle (\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\int }_0^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nun gilt nach den Rechenregeln für die Faltung bei einer skalaren Multiplikation des Faltungsprodukts mit einer Konstanten a ${\displaystyle \in \mathrm{ℂ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Frage 01: Bedeutet das, wenn nein, wie sehe das hier konkret aus?

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\int }_0^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Frage02: Wie kann man diesen Zusammenhang beweisen? Gibt es ggf einen Weg über die Distributionsfunktion ${\displaystyle \mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$?

Es gilt ja: ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Wenn ich nun für g(t) die ${\displaystyle \mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Distribution einsetzte, müsste ja gelten:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\int }_0^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

und weiter:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Vielen Dank schonmal im Voraus für Eure Anregungen und Hinweise.

LG,

Jacky