Atomkernzerfall: mittlere Lebensdauer berechnen

Gegeben ist das Zerfallsgesetz ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, gesucht die Haltwertszeit ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\frac{1}{2}}}$ sowie die mittlere Lebensdauer ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Erstere habe ich bereits erfolgreich und richtig ausgerechnet: ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\frac{1}{2}}=\frac{{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Aber ich habe keine Ahnung, wie ich die mittlere Lebensdauer ausrechnen soll!

Die Lösung wäre übrigens: ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{1}{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, aber der Lösungsweg ist mir schleierhaft...

${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\cdot (-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Das bedeutet, dass sich zur Zeit t die Anzahl der Atomkerne während des sehr kurzen Zeitintervalls dt um dN(t) verringert. Das heißt aber auch, dass diese   ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$  Atomkerne die Lebendauer t hatten.

Die Summe der Lebensdauern aller zur Zeit  t = 0  vorhandenen Atomkerne ist dann

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

und die mittlere Lebensdauer ist

${\displaystyle \mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}\cdot {\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}\cdot {\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nach partieller Integration erhält man

${\displaystyle \mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {[-\frac{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}]}_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot {[-\frac{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}]}_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Mit Hilfe der Regel von L'Hospital erhält man für das Integral schließlich den Wert 1.

Also ist

${\displaystyle \mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

GRUSS, DK2ZA

Vielen Dank f&cedil;r die ausf&cedil;hrliche Antwort! :D

Jetzt ist mir die Aufgabe klar.

Gruss