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Auf Metrik überprüfen

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Komplexe Analysis

Tags: Funktion, Komplexe Analysis

Peter857 aktiv_icon

16:19 Uhr, 16.05.2018

Hallo, folgende Abbildung muss ich auf eine Metrik überprüfen:

d : X x X \to R, X = (0, \infty)

d (x, y) = \frac{| x - y |}{x \cdot y}

Mein Problem liegt bei dem Nachweis der Dreiecksungleichung, dort komme ich nicht weiter:

Zz:

\frac{| x - y |}{x \cdot y} \leq \frac{| x - z |}{x \cdot z} + \frac{| z - y |}{z \cdot y}

Ich vermute, dass es nicht gilt, aber wie zeige ich es oder widerlege es ?

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ermanus aktiv_icon

16:36 Uhr, 16.05.2018

Hallo,

die Dreiecksungleichung gilt.
Multipliziere deine Ungleichung mit

x y z > 0

.
Dann kommst du vielleicht der Sache näher ;-)

Gruß ermanus

Peter857 aktiv_icon

16:58 Uhr, 16.05.2018

Dann habe ich:

x \cdot | z - y | + y | x - z | \geq z \cdot | x - y |

und wie geht es weiter?

ermanus aktiv_icon

17:03 Uhr, 16.05.2018

Du kannst jetzt

x, y

bzw

z

in den Betrag hineinmultiplizieren, da sie
positiv sind ...

Peter857 aktiv_icon

17:10 Uhr, 16.05.2018

Achso,

=
|xz-xy|+|yx-yz|

\geq

|xz-yz|

Damit ist es gleich:-)

Danke

ermanus aktiv_icon

17:17 Uhr, 16.05.2018

Nein, natürlich nicht :(
Aber du hast jetzt:

∣ x z - y z ∣ = ∣ (x z - x y) + (x y - y z) ∣ \leq ∣ x z - x y ∣ + ∣ x y - y z ∣

.
Das ist doch die normale Dreiecksungleichung !

Peter857 aktiv_icon

17:33 Uhr, 16.05.2018

Okay, du hast es jetzt nach oben abgeschätzt und ich hatte es vorher nach unten abgeschätzt.

y*|x-z|+x*|z-y|=|yx-yz|+|xz-xy| >=|yx-yz+xz-xy|=|-yz+xz|

oder ist das falsch?

ermanus aktiv_icon

17:35 Uhr, 16.05.2018

Versteh ich nicht ... ich habe nur die ursprüngliche Reihenfolge
beibehalten ...

Peter857 aktiv_icon

17:38 Uhr, 16.05.2018

Ich habe doch nur die lange Seite( mit der Addition) ausmultipliziert und mit der Dreiecksungleichung nach unten abgeschätzt, sodass ich auf die kurze Seite der Gleichung gekommen bin.

ermanus aktiv_icon

17:49 Uhr, 16.05.2018

Ja, das ist vollkommen richtig.
Das Problem war eher ein Problem der Darstellung.
Die Abschätzung ist die gleiche.
Wenn du den Beweis präsentieren willst, gehst du doch
sinnvollerweise von der "üblichen" Dreiecksunglichung für den Betrag aus:

∣ x z - y z ∣ = ∣ x z - x y + x y - y z ∣ \leq ∣ x z - x y ∣ + ∣ x y - y z ∣

(Dreiecksungleichung für Betrag)
Wegen

x, y, z > 0

ist dies äquivalent zu

∣ x - y ∣ z \leq ∣ x - z ∣ y + ∣ z - y ∣ x

. Division dieser Ugl. durch

x y z > 0

liefert die dazu äquivalente Behauptung.

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