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Aufgabe Zahlenfolge Formel erstellen

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Tags: Sonstig

Hanoi aktiv_icon

13:14 Uhr, 13.06.2018

Hey ich habe gleich zwei Zahlenfolgen, von denen ich die ersten drei Zahlen kenne. Nun hätte ich gerne eine (rekursive/explizite) Formel/Funktion, um die nächsten Folgenglieder zu bestimmen.

Erste Folge:

Z (1) = 1

Z (2) = 5

Z (3) = 15

(Z(4)müsste wahrscheinlich den Wert

37

haben)

Zweite Folge:

A (1) = 3

A (2) = 10

A (3) = 30

Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
Bei der ersten Folge habe ich bereits eine rekursive Formel aufgestellt. Diese lautet:

Z (n) = 2 \cdot [Z (n - 1) + (n - 1)] + 1

Bei der explizieten Formel beiße ich mir jedoch die Zähne aus.
Bei der zweiten Folge steh ich komplett im Dunkeln.

LG Hanoi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Roman-22

14:03 Uhr, 13.06.2018

>

Nun hätte ich gerne eine (rekursive/explizite) Formel/Funktion, um die nächsten Folgenglieder zu bestimmen.
Dummerweise gibt es für jede vorgegebene Zahlenfolgen unendlich viele Möglichkeiten, sie nach einem Bildungsgesetz fortzusetzen.
Du kannst dir jeweils eine beliebige vierte Zahl wählen und es gibt ein Bildungsgesetz, dass genau dieses leistet.
Wenns also keine Zusatzforderung gibt

. .

.

So führt zB

Z (n) := 3 \cdot n^{2} - 5 \cdot n + 3

Z (4) = 31,

während dein rekursiver Ansatz

Z (n) := 2 \cdot Z (n - 1) + 2 n - 1

eben auf

Z (4) = 37

führt.
Genauso gut könntest du von

Z (n) := 3 \cdot Z (n - 1) + Z (n - 2) - 1

ausgehen und

Z (4) = 49

angeben.
Oder wie wärs mit

Z (n) := Z (n - 1) \cdot [Z (n - 2) + 2]

und

Z (4) = 105

?

Für die zweite Folge würde mir spontan

A (n) := A (n - 1) \cdot A (n - 2)

mit

A (4) = 300

einfallen, aber natürlich tuts

A (n) := \frac{13}{2} n^{2} - \frac{25}{2} n + 9

mit

A (4) = 63

auch.

Hanoi aktiv_icon

15:54 Uhr, 13.06.2018

Hallo Roman,
Vielen Dank erst einmal für deine schnelle Antwort.
Diese Folgen kommen nicht irgendwoher. Es handelt sich um spezielle Spielregeln von "der Turm von Hanoi".
Dabei ist eine Variante

z . B

. das man drei Stäbe hat. Auf beiden sind die gleiche Anzahl an Scheiben

(n)

der Größe nach aufgebaut. Die einzelnen Scheiben wechseln sich immer in der Farbe schwarz und weiß ab. Einziger Unterschied, der linken Turm beginnt mit einer weißen, der rechte Turm mit einer schwarzen Scheibe.
Ziel ist es, am Ende des Spiels einen komplett weißen Turm und einen komplett schwarzen Turm zu erhalten. Dabei sollen die untersten (größten) Scheiben jeweils ihre Position tauschen.
Hierfür habe ich bereits das Spiel auf einem Blatt Papier für

n = 1, 2, 3

durchgespielt. Dies sind die

A (n)

Werte aus dem ersten Beitrag. Könntest du mir verraten wie ich daraus eine Formel aufstellen kann?
LG Hanoi

Roman-22

16:29 Uhr, 13.06.2018

Das bedeutet, dass deine ursprüngliche Aussage, dass du die ersten drei Folgenglieder kennst und die nächsten suchst, falsch und irreführend war. Du kennst bereits ein rekursives Bildungsgesetz und suchst eine explizite Formel oder?
Einen Ansatz, der da immer funktioniert und zum Ziel führt gibts da leider nicht, nur ein paar Wege, die vl zum Ziel führen könnten.
Vielleicht hilft dir
www.imosuisse.ch/smo/skripte/imovorbereitung/rekursion_explizit/de-rekursion_explizit.pdf
ein wenig weiter oder gibt dir Anreungen.
Fürs klassische Hanoi-Problem ist ja

2^{n} - 1

die minimale Anzahl von Zügen. Für deine Spezialversionen mit geänderten Spielregeln will mir auf den ersten Blick keine explizite Formel ins Auge springen.

Hanoi aktiv_icon

17:22 Uhr, 13.06.2018

Kennen ist relativ. Die ersten drei habe ich durch spielen des Spiels herausgefunden und die rekursive Formel erstellt....Fraglich ist lediglich ob diese stimmt.

Roman-22

17:30 Uhr, 13.06.2018

>

Die ersten drei habe ich durch spielen des Spiels herausgefunden und die rekursive Formel erstellt....Fraglich ist lediglich ob diese stimmt.
Oh je! Das heißt, du hast zwei Probleme, nicht nur eins. Da würde ich mich erst mal darum kümmern, ob die Rekursionsformel stimmt, bevor ich daran gehe, eine explizite Formel zu suchen.
Die Rekursionsformel für deine A-Serie sollte sich doch eigentlich ergeben, wenn du ähnlich wie bei einem Induktionsbeweis den Schritt von

n

auf

n + 1

machst.
Vielleicht hilft diese Abhandlung:
http//rmm.ludus-opuscula.org/PDF_Files/Chaugule_BicolorHanoi_37_48(4_2015)_low.pdf

Hanoi aktiv_icon

17:49 Uhr, 13.06.2018

stimmt. daran hatte ich bisher gar nicht gedacht. Stelle heute Abend mal eine Induktion auf. Vielen Dank für den Tipp. Werde meine Ergebnisse hier bekannt geben.

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