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Aufgabe zur Kondensator-Entladung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Halbwertszeit, Kapazität, Kondensator, Ladung, Physik, stromstärke

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19:50 Uhr, 30.09.2015

Aufgabe: Ein Kondensator wird über einen Widerstand R=50kiloOhm entladen. Zur Zeit

t = 0

wird die Stromstärke I0

= 200

mA gemessen. Nach

10 s

ist die Stromstärke auf I

= 180

mA gesunken. Berechnen sie Kapazität, Zeitkonstante, Halbwertszeit und die zur Zeit

t (0)

auf der Platte befindliche Ladung

Q (0)

Meine ersten Ansätze: Mithilfe des Taschenrechners habe ich die Werte in eine Messtabelle eingetragen und dann eine Regression durchgeführt, damit ich die Exponentialfunktion rausbekomme.
I = I0*e^k*t

\to I (t) =

200mA*e^-0.011

\frac{1}{s} \cdot t

So jetzt habe ich die Exponentialfunktion rausbekommen, aber ich weiß jetzt nicht wie ich weiter rechnen soll. Ich meine man braucht die Integralrechnung um die Ladung rauszubekommen, aber sicher bin ich mir dabei auch nicht.

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Exponentielles Wachstum und Zerfall

-Wolfgang-

21:18 Uhr, 30.09.2015

Hallo Suzy,

es gilt: I(t)

= Q' (t)

[

Q"Punkt" kann ich leider nicht darstellen :-)]

Du musst also in der Tat eine Stammfunktion zu I(t) bestimmen.

Für die Kapazität gilt

C = \frac{Q (t)}{U (t)}

mit

U (t) = R \cdot I (t)

VlG Wolfgang

seulhy aktiv_icon

21:34 Uhr, 30.09.2015

Ist das die richtige Funktion?

I (t)

=

200mA*e^-0.011

\frac{1}{s} \cdot t

Wenn ich dann mithilfe dieser Funktion die Integralrechnung durchführe, kommt bei mir mit einer Obergrenze von

10 s

und der Untergrenze von

0 s, 1875,722

wahrscheinlich milliCoulomb raus.
Ist das bis jetzt so richtig?

Und muss ich dann um die Spannung auszurechnen, die Anfangsstromstärke oder die Stromstärke nach

10 s

einsetzen?

-Wolfgang-

22:18 Uhr, 30.09.2015

I(t) ist richtig

(k

stark gerundet!)

Für

U

und

Q (C = . .)

kannst du jeweils

t = 0

nehmen.

W

seulhy aktiv_icon

22:44 Uhr, 30.09.2015

Also dann:

U (t = 0) =

50kiloohm

\cdot

200mA

U = 10000 V

C = \frac{1.9 C}{10000 V} = 0.00019 F

so?

-Wolfgang-

23:00 Uhr, 30.09.2015

Die Maßzahl bei

C (

mit der Einheit

F)

ist oft sogar noch kleiner.

Werde es später nachrechnen!

W

seulhy aktiv_icon

23:11 Uhr, 30.09.2015

Ok, danke :-)
Ich bin mir aber ziemlich unsicher bei

Q,

also ob das so richtig ist. Ich habe ja jetzt sozusagen die Gesamtladung mithilfe des Integrals ausgerechnet. Muss ich da nicht noch was anderes für die Anfangsladung, also

Q_{0}

machen oder ist das im Prinzip das Gleiche?

-Wolfgang-

00:48 Uhr, 01.10.2015

Hallo Suzy, du hast recht.

Beim Integrieren hat man hier tatsächlich das Problem, dass man keine Anfangsbedingungen für die zahlenmäßige Bestimmung der Integrationskonstanten gegeben hat.
Du müsstest

Q (0) = Q_{0}

setzen und dann mühsam weiterechnen.

Man rechnet deshalb am einfachsten mit der Gleichung für die Entladestromstärke (Entladung eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand), das Integrieren ist dort schon passiert:

[

Herleitung

z . B

. hier:
http//gfs.khmeyberg.de/Materialien/IIPhysik/KondensatorSpuleMathematik.pdf

]

I(t) = Io

\cdot e^{\frac{- 1}{R \cdot C} \cdot t}

mit Io = Uo/R und Uo = Qo/C ergibt sich:

I(t)

= \frac{Q_{0}}{R \cdot C} \cdot e^{\frac{- 1}{R \cdot C} \cdot t}

[

Betrag von I(t)]

Mit I(0)

= \frac{Q_{0}}{R \cdot C} = 0,2 A

[

GL1]

und I(10s) = Io

\cdot e^{\frac{- 10 s}{R \cdot C}} = 0,2 A \cdot e^{\frac{- 10 s}{R \cdot C}} = 0,18 A

[

GL2]

hat man direkt zwei Gleichungen für

Q_{0}

und C.

[

Der Formeleditor macht das leider nicht schöner]

[2] \to e^{\frac{- 10 s}{R \cdot C}} = 0,9

ln

anwenden

\to C = \frac{- 10 s}{ln (0,9) \cdot 5 \cdot 10^{4} Ω} = 0,00189 F

C

bei

[1]

einsetzen

\to Q_{0} = R \cdot C \cdot 0,2 A = 18,9 C

VlG Wolfgang

seulhy aktiv_icon

06:43 Uhr, 01.10.2015

Hallo,

erstmal vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, das auszurechnen!
Aber ich verstehe noch nicht ganz wie man auf die Funktion für die Kapazität

(C)

kommt.

-Wolfgang-

12:42 Uhr, 01.10.2015

Welche Formel meinst du genau?

W

Edddi aktiv_icon

13:04 Uhr, 01.10.2015

. .

. ich denke, Ihr war der Schritt von

[2] \to e^{- \frac{10}{R \cdot C}} = 0,9

auf

l n

anwenden

\to C = \frac{- 10}{ln (0,9) \cdot 5 \cdot 10^{4}}

zu groß.

Aus I(10)= I_0

\cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}

folgt also:

0,18 = 0,2 \cdot e^{- \frac{10}{R \cdot C}} | \cdot 5

0,9 = e^{- \frac{10}{R \cdot C}} | l n

ln (0,9) = ln (e^{- \frac{10}{R \cdot C}})

ln (0,9) = - \frac{10}{R \cdot C}

- \frac{10}{ln (0,9)} = R \cdot C

- \frac{10}{ln (0,9) \cdot R} = C

mit

R = 5 \cdot 10^{4}

C = - \frac{10}{ln (0,9) \cdot 5 \cdot 10^{4}}

;-)

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