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Aus einen cot alpha den cos alpha ermitteln

Schüler

Tags: Herleitung

michaberlin aktiv_icon

18:49 Uhr, 18.11.2024

Ich habe hier die Aufgabe aus dem gegebenen

cot α

den

cos α

zu ermitteln.

Mithilfe des trigonometrischen Pythagoras ist mein Lösungsansatz

cot α = \frac{cos α}{{(\pm (1 - {(cos)}^{2} α))}^{\frac{1}{2}}}

.

Quadriert ergibt sich daraus

{(cot)}^{2} α = \frac{{(cos)}^{2}}{1 - {(cos)}^{2} α}

. Bis hierher kann ich noch folgen. Doch dann aber wird aus

\frac{1}{1 - {(cos)}^{2} α}

plötzlich ein

1 + {(cot)}^{2} α,

also

{(cot)}^{2} α = {(cos)}^{2} α \cdot (1 + {(cot)}^{2} α)

. Wie kommt das, das ist hier meine Frage?

Wahrscheinlich habe ich hier wohl eine Denkblockade.

Egal wie rum ich die Winkelfunktionen auch drehen möchte, ich gelange jedesmal nur auf die Definition des trigonometrischen Pythagoras

{(sin)}^{2} α + {(cos)}^{2} α = 1

.

Mit dem 3. Ähnlichkeitsatze kann ich zwar das Verhältnis

\frac{{(cot)}^{2} α}{1 + {(cot)}^{2} α} = \frac{{(cos)}^{2} α}{1^{2}}

aus den geometrischen Beziehungen im 1. Quadranten eines Vollkreises herauslesen, auch nennt mir die Tabelle "Beziehungen zu den Winkelfunktionen" die Zuordnung

cos α = \frac{cot α}{\pm {(1 + {(cot)}^{2} α)}^{\frac{1}{2}}}

doch jedesmal stoße ich auf das Problem aus

\frac{1}{1 - {(cos)}^{2} α}

ein

1 + {(cot)}^{2} α

zu machen. Überall lese ich im Internet, dass alle Winkelfunktionen voneinander abhängig sein sollen, nur wie?

Darum soll meine Frage lauten, wie wird aus

\frac{1}{1 - {(cos)}^{2} α}

ein

1 + {(cot)}^{2} α

?

Gruß
Michael

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Roman-22

19:00 Uhr, 18.11.2024

>

Doch dann aber wird aus 11−(cos)2α plötzlich ein 1+(cot)2α, also (cot)2α=(cos)2α⋅(1+(cot)2α).

>

Wie kommt das, das ist hier meine Frage?

Hilft das?

\frac{1}{1 - {cos}^{2} α} = \frac{1}{{sin}^{2} α} = \frac{{sin}^{2} α + {cos}^{2} α}{{sin}^{2} α} = \frac{{sin}^{2} α}{{sin}^{2} α} + \frac{{cos}^{2} α}{{sin}^{2} α} = 1 + {cot}^{2} α

Man muss sich bei deinen Ausführungen allerdings bewusst sein, dass nicht immer alle Identitäten für alle

α \in ℝ

gültig sind. Am Beginn hast du ja auch bereits richtig ein

\pm

verwendet.
Das nachfolgende Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung!

michaberlin aktiv_icon

19:08 Uhr, 18.11.2024

Das hift mir enorm! Danke, Roman-22, für die ausführliche Beantwortung meiner Frage!

Mit

{(sin)}^{2} α

war ich tatsächlich schon auf einem guten Wege. Nur dann kamen in mir Zweifel auf, ob der Weg auch der Richtige sei. Wäre ich mal auf diesen Pfad geblieben.

Also, ich danke dir für deine ausführliche Antort!

Gruß
Michael

calc007

19:10 Uhr, 18.11.2024

oder:

{cot}^{2} (α) = \frac{{cos}^{2} (α)}{1 - {cos}^{2} (α)}

ganze Gleichung mal

(1 - {cos}^{2} (α)) :

{cot}^{2} (α) \cdot (1 - {cos}^{2} (α)) = {cos}^{2} (α)

{cot}^{2} (α) - {cot}^{2} (α) \cdot {cos}^{2} (α) = {cos}^{2} (α)

ganze Gleichung

+ {cot}^{2} (α) \cdot {cos}^{2} (α)

{cot}^{2} (α) = {cos}^{2} (α) + {cot}^{2} (α) \cdot {cos}^{2} (α)

{cot}^{2} (α) = {cos}^{2} (α) \cdot (1 + {cot}^{2} (α))

ganze Gleichung geteilt durch

(1 + {cot}^{2} (α))

\frac{{cot}^{2} (α)}{1 + {cot}^{2} (α)} = {cos}^{2} (α)

michaberlin aktiv_icon

19:53 Uhr, 18.11.2024

Hallo calc007,

Mensch, auch dir danke ich für die ausführliche Antwort auf meine Frage!

Mit der Subtitution

{(cot)}^{2} α = t

und

{(cos)}^{2} α = s

konnte ich auch deinen Lösungsweg sehr gut nachvollziehen und ich denke mal, dass auch der Autor dieser Beispielaufgabe, ein gewisser Dipl.-Math. W. Pauli, diesen Lösungsweg begangen hat, vielleicht?

Von alleine wäre ich jedenfalls bei beiden Lösungswegen nicht darauf gekommen. Also habt beide ein dickes Dankeschön von mir!

Gruß
Michael

michaberlin aktiv_icon

12:10 Uhr, 21.11.2024

Jetzt verstehe ich auch den Begriff "Äquivalenzumformung", der wohl aus dem Bereiche der Mengenlehre bzw. der Kombinatorik herrührt. Das klingt zwar alles sehr interessant, doch konzentriere ich mich hier erstmal auf die Herleitungen der wichtigen Winkelfunktionen in der allgemeinen Goniometrie mit Hinblick auf die Eulersche Gleichung, die bei Anwendungen in der Elektrotechnik eine große Rolle spielt.

Also, bezogen auf das oben stehende Problem, wie aus

\frac{1}{1 - {(cos)}^{2} α}

ein

1 + {(cot)}^{2} α

wird, substituiere ich erstmal

{(cos)}^{2} α = s

und

{(cot)}^{2} α = t

.

Dann wird aus

t = \frac{s}{1 - s}

ein

t \cdot (1 - s) = s

oder

t -

= s

.

Wenn ich auf beiden Seiten der Gleichung (ts) hinzufüge (sprich: addiere), vollziehe ich damit eine Äquivalenzumformung

(!)

t = s +

ts und damit zu

\frac{t}{1 + t} = s

.

Die Größen

{(cos)}^{2} α

und

{(cot)}^{2} α

darin eingesetzt, ergeben die Lösung meines Problems.

Also, so sehe ich dass und ich hoffe, das ich hier nicht all zu weit mit meinen Ansichten davon entfernt liege.

Gruß
Michael

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