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Auswertung Ober/Untersumme Riemann Integral 1/x

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Riemann, Riemann-Integral

SkylineEagle aktiv_icon

15:34 Uhr, 19.10.2018

So hallo Zusammen,

besuche gerade Analysis II, deswegen gerade viele Fragen diesbezüglich. Die Aufgabe ist angehängt als Bild.

Mein Ansatz zur a)

-Betrachtung des Oberintegrals:

\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = \sum_{i = 1}^{n} \cdot c_{i} (x_{i} - x_{i - 1}) =

\sum_{i = 1}^{n} \cdot s u p \frac{1}{x_{i}} (x_{i} - x_{i - 1}) =

\sum_{i = 1}^{n} \cdot \frac{1}{a q^{î - 1}} (a q^{i} - a q^{î - 1}) =

\sum_{i = 1}^{n} q - 1 = n \cdot (q - 1) =

\frac{q - 1}{1 / n} = l o g (b / a)

Analog dann für das Unterintegral.

Nur mal eine Frage hierzu. In der Vorlesung hatten wir das nicht so gemacht mit dem Supremum innerhalb der endlichen Summe. Vielmehr haben wir das Oberintegral definiert als das Supremum des Integrals einer Treppenfunktion mit der Eigenschaft:

φ \geq f

. Bin mir also oben bei meinem Weg nicht ganz sicher.

Mein Ansatz zur b)

Naja wir haben ja rechts die harmonische Reihe, links haben wir ebenso die harmonische Reihe, bloß 1 dazuaddiert. Ich hätte jetzt mal links und rechts die inverse Gaußsche Summenformel angewendet, für log(n+1) hätte ich die Definition von oben angewendet um das Ganze als Endliche Summe zu schreiben. Dann wollte ich eine wahre Aussage aus dieser Ungleichung herausholen. Doch irgendwie erscheint mir die Auflösung hierbei etwas zu kompliziert, weshalb es wohl eine einfachere Lösung geben sollte.

Mein Ansatz zur c)
Hier habe ich keine Ahnung bis jetzt.

Wäre sehr dankbar, wenn mir Jemand hierbei unter die Arme greifen könnte! Vielen Dank schon mal,

VG,
Skyline

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

21:39 Uhr, 19.10.2018

Hallo,

Du musst auf jeden Fall etwas sorgfältiger schreiben. An vielen Stellen schreibst Du ein Gleichheitszeichen, ohne den Grenzübergang zu notieren, zum Beispiel gleich am Anfang. Das Integral ist nicht gleich einer endlichen Summe.

Wenn Du eine obere Treppenfunktion konstruieren willst, dann kannst Du auf dem Intervall

[x_{i - 1}, x_{i}]

natürlich das Supremum nehmen, das wäre allerdings

\frac{1}{x_{i - 1}}

und nicht

\frac{1}{x_{i}},

wie Du geschrieben hast.

Was die Aufgabe

b)

angeht, würde mich interessieren, was Du mit "inverser Gaußscher Summenformel" meinst? Ich denke, dass Du eher benutzen sollst, dass die angegebenen Summen Ober- und Untersummen für ein Integral sind.

Gruß pwm

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23:14 Uhr, 19.10.2018

Hallo pwmeyer,

a) Sprich noch den Limes n-> unendl. notieren, dann passt die Gleichheit aber, oder?

b) Ich formuliere das jetzt mal schnell ohne Latex: Also Gauß'sche Summenformel entspricht für die Summierung von 1 bis n über k gerade n*(n+2)/2. Die Summierung über 1/k - also der endlichen harmonischen Summe - müsste also gerade die "inverse" Gauß'sche Summenformel sein. Dadurch bekomme ich die 3 Terme in der Ungleichungskette auf eine Gemeinsamkeit: Nämlich eine Darstellung, die nur von n abhängig ist. Daraus könnte ich jetzt ne wahre/falsche Aussage ableiten und daher folgern, ob diese Aussage überhaupt möglich ist.

Das dachte ich mir jetzt mal so, aber das war wie du wohl erkannt hast gar nicht gefragt. Um aber die Ungleichungskette mittels Ober - und Untersumme zu folgern habe ich jetzt so gar keinen Ansatz. Ich weiss ja, dass das Integral 1/x für die Grenzen a und b gerade log(a/b) entspricht. Um log(n+1) zu erhalten, müsste man gerade die Grenzen

b = n^{2} + n

und

a = n

verwenden, aber das bringt mich erstmal nicht weiter. Hättest du da einen Ansatz?

VG und danke,
Skyline

pwmeyer aktiv_icon

09:05 Uhr, 20.10.2018

Hallo,

nochmal zu Deiner inversen Summenformel. Meinst Du:

1 + 2 + 3 = 6 \Rightarrow 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

?

Was die Aufgabe

b)

angeht: Schau mal auf das Integral

\int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x

und bilde Riemannsche Unter- und Obersummen mit den Teilpunkten

1,2,3, ..., n, n + 1

.

Gruß pwm

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12:24 Uhr, 20.10.2018

Hallo,

also jetzt wo du es so hinschreibst merke ich in der Tat, dass mein Gedanke mit dieser inversen Geschichte überhaupt keinen Sinn macht! Keine Ahnung was ich mir dabei gedacht hab.

zur b)

\int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x

Oberintegral:

\int_{1}^{* n + 1} \frac{1}{x} d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} s u p φ (x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k} (k + 1 - (k)) = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k}

Unterintegral:

\int_{* 1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} i n f φ (x_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} (k + 1 - (k)) = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k + 1}

Es gilt Unterintegral

\leq

Integral

\leq

Oberintegral:

\int_{* 1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x \leq \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x \leq \int_{1}^{* n + 1} \frac{1}{x} d x

Wendet man jetzt die Riemann'schen Summen, sowie a) an erhält man direkt:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k} \leq l o g (n + 1) \leq lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k + 1}

Das sollte jetzt der Behauptung entsprechen, oder?

c)
Wie würde man hier vorgehen?

VG und vielen Dank,
Skyline

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10:53 Uhr, 21.10.2018

Hallo liebe Leute,

könnte mir Jemand sagen, ob die b) so wie ich sie im letzten Beitrag gepostet habe stimmmt? Würde mir sehr weiterhelfen :-) Und falls dieser Jemand Lust hätte würde ich gerne Ratschläge für die c) entgegennehmen.

VG,
Skyline

pwmeyer aktiv_icon

11:54 Uhr, 21.10.2018

Hallo,

auch hier benutzt Du falsche Schreibweisen. Was soll zum Beispiel

\supset φ (x_{i - 1})

heißen? Du schreibst einen falschen Grenwert auf:

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

ist die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Die Summe, die Du notiert hast ist eine obere Abschätzung für das Integral.

Für

c)

würde ich einfach mal aufschreiben, was zu zeigen ist, und mal sehen, ob man das irgendwie umformen kann.

Gruß pwm

SkylineEagle aktiv_icon

13:09 Uhr, 21.10.2018

Hallo pwm,

vielen lieben Dank für deine Antwort!! Der Grenzübergang soll in diesem Fall also rein durch die Betrachtung einer zunehmenden Verfeinerung der Zerlegung der Treppenfunktionen stattfinden oder? In diesem Falle sollte man also ohne Limes auskommen und mein Versuch würde (exemplarisch für das Oberintegral) dann so aussehen (Passt das jetzt so?):

b)
Oberintegral:

\int_{1}^{* n + 1} \frac{1}{x} d x = i n f O (Z) = i n f \sum_{i = 1}^{n} s u p φ (x) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) : φ \geq \frac{1}{x} a u f [1, n + 1]} = i n f {\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k} \cdot (k + 1 - (k)} = i n f {\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k}}

Kann ich jetzt hier mit Unterintegral<Integral<Oberintegral die Behauptung folgern?

c)
Unterintegral:

\int_{* 1}^{n} \frac{1}{x} d x = i n f O (Z) = i n f \sum_{i = 1}^{n} s u p φ (x) \cdot (x_{i} - x_{i - 1}) : φ \geq \frac{1}{x} a u f [1, n]} = i n f {\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k} \cdot (k - (k - 1)} = i n f {\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k}}

Es gilt Unterintegral<Integral und damit:

i n f {\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k}} \leq \int_{1}^{* n + 1} \frac{1}{x} d x

Also:

i n f {\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k}} - l o g (n) \leq 0

Betrachte ich nun das Oberintegral und das Integral als Funktionen

F_{1}

und

F_{2}

so folgt, dass die Differenzfunktion

F_{1} - F_{2}

monoton fällt. Wie man strenge Monotonie nachweisen kann, weiss ich nicht.
Betrachte ich nun die Summe dieser Differenzfunktion, so gilt:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k} - l o g (n)

Wende ich nun den Limes an so folgt:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{k} - l o g (n))

Wie man auf einen Grenzwert kommt sehe ich gerade nicht wirklich. Stimmt meine Vorgehensweise soweit und vor allem passt die Notation jetzt?

Danke für deine Geduld, Analysis ist nicht meine Stärke!
VG,
Skyline

SkylineEagle aktiv_icon

20:34 Uhr, 21.10.2018

Guten Abend pwm,

ist zumindest die b) korrekt jetzt? Hätte morgen Blatt-Abgabe und würde gerne zumindest ein paar Punkte sammeln.

Danke :-)
Skyline

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