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Begrenztes Wachstum

Schüler Gymnasium,

Tags: begrenztes Wachstum

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08:46 Uhr, 01.04.2013

Hilfe, bitte!

In einer landwirtschaftlichen Versuchsanstalt wird die Höhe einer neu gezüchteten Pflanze zur Produktion von Bio-Diesel in den ersten Wochen ihres Wachstums vermessen:

x :

Zeit in Wochen

y :

Höhe in cm

Wertepaare:

(0; 0), (2; 19), (4; 34,39), (7; 52,17)

Es wird davon ausgegangen, dass die Pflanze

1 m

hoch wird.

a .)

Ermitteln Sie mit dem Taschenrechner die Gleichung einer Exponetialfunktion, die das Wachstum der Pflanze beschreibt.

b .)

Mit welcher Höhe der Pflanze ist nach 5 Wochen zu rechnen?

c .)

Wann hat die Pflanze die Hälfte der erwarteten Höhe erreicht?

d

.)Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit nach 7 Wochen?

e .)

Weisen Sie algebraisch nach, dass die Pflanze nach dem von Ihnen aufgestellten Modell maximal

1 m

hoch wird.

Hilfe brauche ich am meisten bei

a .)

und

e .)

Lösungsansatz:

zu

a .)

f (x) = a \cdot b^{x} (

Ist das die Formel für exponentielles Wachstum?)
I

0 = a \cdot b^{0}

19 = a \cdot b^{2}

III

34,39 = a \cdot b^{4}

52,17 = a \cdot b^{7}

Ist das richtig? Dann müsste aus I aber

a = 0

folgen und dann wäre doch alles immer 0. Da hab ich einen Denkfehler,gell?

zu

b .)

Da sollen wir folgende Formel benutzen:

f (x) = g - a \cdot b^{x}

g :

Sättigungsgrenze (hier Höhe in cm) also

100

a :

Sättigungsmanko zum Zeitpunkt

x = 0,

wobei das Sättigungsmanko der Wert ist, der zwischen Sättigungsgrenze also Höchstwert (Maximum) und dem momentanen Wert liegt also zischen der Höchstgrenze von

1 m

und der momentanen Höhe

b :

Wachstumfaktor

f (x) :

ist die Höhe zum Zeitpunkt

x

.

Ich brauche bitte zu

a .)

und

e

.)Hilfe und würde gern die Werte von

b .)

bis

d .)

mit jemandem vergleichen. Ich fange gleich an zu rechnen. Danke im Voraus :-) (Einreichen muss ich die Aufgabe bis heute

16

Uhr - wie immer auf die letzte Minute)

Also zu

b .)

f (5) = 100 - a \cdot b^{5}

c .)

50 = 100 - a \cdot b^{x}

d .)

f (7) = 100 - a \cdot b^{7}

Mein Problem ist, dass ich weder weiß, wie a noch

b

berechnet wird. Zu

e .)

habe ich überhaupt keine Ahnung.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

10:28 Uhr, 01.04.2013

Wachstum ist begrenzt

(100

),

daher

f (x) = 100 - a \cdot b^{x}

f (0) = 0 \Rightarrow 0 = 100 - a \cdot 1 \Rightarrow a = 100

f (2) = 19 \Rightarrow 19 = 100 - 100 \cdot b^{2} \Rightarrow b = 0,9

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11:09 Uhr, 01.04.2013

Danke für die Antwor!

Könnte ich noch einen Hinweis zu

e .)

erhalten?

Respon

11:16 Uhr, 01.04.2013

e .)

Weisen Sie algebraisch nach, dass die Pflanze nach dem von Ihnen aufgestellten Modell maximal

1 m

hoch wird.

Aus den Angaben hat sich folgende Funktion ergeben.

f (x) = 100 - 100 \cdot {0,9}^{x}

( Die zusätzlchen Messdaten dienen der Absicherung des Modells )

f (x)

ist die Höhe,

x

die Zeit.

Die Pflanzen sollten auch nach einer - theoretische - unendlichen Zeit nicht höher als

100

cm sein.

lim_{x \to \infty} 100 - 100 \cdot {0,9}^{x} = 100 - 100 \cdot lim_{x \to \infty} {0,9}^{x}

lim_{x \to \infty} {0,9}^{x} = 0

\Rightarrow lim_{x \to \infty} 100 - 100 \cdot {0,9}^{x} = 100

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13:06 Uhr, 01.04.2013

Ich hab noch eine Frage zu

c .)

bitte!

50 = 100 - 100 \cdot {0,9}^{x}

Daraus folgt doch

x = 6,579

ja?

Atlantik aktiv_icon

13:38 Uhr, 01.04.2013

50 = 100 - 100 \cdot {0,9}^{x}

100 - 100 \cdot {0,9}^{x} = 50

100 \cdot {0,9}^{x} = 50

{0,9}^{x} = \frac{1}{2}

x \cdot ln 0,9 = ln (\frac{1}{2})

x = \frac{ln (\frac{1}{2})}{ln 0,9} = 6,578813479

Also hast du es richtig.

mfG

Atlantik

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14:14 Uhr, 01.04.2013

Noch eine Frage zu

d .)

Was ist mit Wachstumsgeschwindigkeit gemeint? Ist hier einfach nach der Höhe nach 7 Wochen gefragt?

Tesserakt aktiv_icon

14:25 Uhr, 01.04.2013

Nein, ich denke, is ist die Geschwindigkeit gefragt, mit der die Pflanze zum Zeitpunkt '7 Wochen' wächst. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist insgesamt ja nicht konstant.
Du kannst beispielsweise deine Lösung in cm pro Tag bzw. mm pro Tag angeben, je nachdem was einen schönen Wert ergibt.
Tipp: Wachstumsgeschwindigkeit ist die zeitl. Ableitung der Pflanzengröße.

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14:30 Uhr, 01.04.2013

Heißt das, dass ich die Ableitung der Grundfunktion berechnen muss?

Die Grundfunktion lautet:

f (x) = 100 - 100 \cdot 09^{x}

Falls, ja, kann mir jemand bei der Ableitung helfen?

Tesserakt aktiv_icon

14:35 Uhr, 01.04.2013

Ja, genau. Du berechnest den Wert der Ableitungsfunktion zum Zeitpunkt '7 Wochen', also

f ʹ (7)

x

wird ja hier für die Zeit verwendet, also nach

x

ableiten.
Da die Grundeinheiten sind ja

c m

und

W o c h e

, also ist das Ergebnis in der Einheit

\frac{c m}{W o c h e}

. Wenn du willst, kannst du es noch umrechnen.

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15:09 Uhr, 01.04.2013

Wie muss ich

f (x) = 100 - 100 \cdot {0,9}^{x}

ableiten?

Ich hab mich versucht....

1. Ableitung:

f´(x)

= 100 \cdot ln 0 . 9 \cdot {0,9}^{x}

f´(x)

= 10,54 \cdot {0,9}^{x}

Ist das richtig?

silvano aktiv_icon

17:33 Uhr, 01.04.2013

Tut mir leid, dir sagen zu müssen, dass dies nicht die richtige Ableitung ist.
Konstante Faktoren werden beim differenzieren weggelassen. Weiteres gilt die Potenzregel, dass die Potenz als Faktor davorgestellt wird und die Potenz um 1 verringert wird. Beispiel:

f (x) = x^{3} + 7

dann ist wegen der Formeln die erste Ableitung

f' (x) = 3 x^{2}

. Die Konstante

(\in

diesem Fall

7)

wird weggelassen, die Potenz (also

3)

wird davor geschrieben (vor dem

x)

und die Potenz um 1 verringert

(3 - 1 = 2)

.
Probiere es nochmals, deine Funktion abzuleiten.
Gruß, silvano

Respon

18:12 Uhr, 01.04.2013

Deine Ableitung ist korrekt, nur das "MINUS" hast du vergessen.

f (x) = 100 - 100 \cdot {0,9}^{x}

f' (x) = - 100 \cdot {0,9}^{x} \cdot ln 0,9

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20:46 Uhr, 02.04.2013

Wie interpretiere ich das Ergebnis aus Aufgabe

d .)

mit der Wachstumsgeschwindigkeit. Ich meine, ich habe die 7 (Wochen) nach einem Tipp in die erste Ableitung eingesetzt. Dann bekommen ich ein Ergebnis mit der Einheit cm/Höhe. Aber was sagt mir das? Ich meine zum Zeitpunkt 7 kann so ein Wachstum von ca. 5 cm/Höhe ja nicht stattgefunden haben, oder?

Tesserakt aktiv_icon

20:58 Uhr, 02.04.2013

Nein, du bekommst das Ergebnis in

\frac{c m}{W o c h e} .

Das bedeutet, wenn die Pflanze mit der Geschwindigkeit weiterwachsen würde, die sie zum Zeitpunkt 7 Wochen hat, würde sie so und so viele

c m

in der Woche wachsen.

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