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Beispiel Epsilon Delta Kriterium

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

manuelqed aktiv_icon

19:11 Uhr, 27.12.2017

Hab im Internet ein Beispiel zu dem

ε - δ

Kriterium gefunden.
Leider weichen meine Lösungen von denen der Seite stark ab.
Kann mir vlt. jemand sagen wo mein Fehler ist?

Die Aufgabe lautet:
Gegeben sei eine Funktion

f : R \to R,

mit

f (x) = \frac{1}{3} x

Berechne für die Stelle

x_{0} = 1

für

ε = 1

das gazugehörige

δ

(Link: de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Epsilon-Delta-Kriterium_der_Stetigkeit#Beispiel_einer_stetigen_Funktion)
Mein Lösungsansatz war es zu sagen, mein Intervall der Funktionswerte ist

(f (x_{0}) - ε, f (x_{0}) + ε)

Und da

f (1) = \frac{1}{3} \to (\frac{1}{3} - 1, \frac{1}{3} + 1)

So bin ich zum Intervall

(- \frac{2}{3}, \frac{4}{3})

gekommen
Nun hab ich die Argumente für die Funktionswerte

- \frac{2}{3}

und

\frac{4}{3}

gesucht.

- \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot x_{1} \to x_{1} = - 2

\frac{4}{3} = \frac{1}{3} \cdot x_{2} \to x_{2} = 4

Nun hab ich das Intervall der Argumente

(- 2, 4)

Bzw. diese Intervall entspricht:

(x_{0} - δ, x_{0} + δ) \to (1 - δ, 1 + δ)

Daraus folgt:

- 2 = 1 - δ \to δ = 3

Nun mein Problem ist das die Lösung laut Website

δ = 2

ist.
Kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe?
Vieln Dank schon mal jetzt :-D)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

19:38 Uhr, 27.12.2017

Hallo
dein Weg ist sehr umständlich.
einfacher

| f (1) - f (x_{0}) | < 1

also

| \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot x_{0} | < 1

daraus direkt

| 1 - x_{0} | < 3

also größte mögliches

δ = 3

aber natürlich nicht

δ = 1

oder

δ = 2

oder

δ = o,2

auch damit

| f (1) - f (x_{0}) | < 1

denn es gilt ja dann

| 1 - x_{0} | < 3 < 2 < 1 < 0,2

d . h

. man muss nicht das größte mögliche

Δ

nehmen, so hat deine Quelle und du recht..
oft kann man

δ

nicht so einfach direkt ausrechnen, dann ist es gut, dass man es nur klein genug wählen muss.

Gruß ledum

manuelqed aktiv_icon

19:47 Uhr, 27.12.2017

Danke für den Tipp!

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