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Bereichsintegral mit Polarkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Bereichtsintegral, Fläche, Integration, Polarkoordinaten

evilcrazy aktiv_icon

11:02 Uhr, 03.07.2011

Hi!

Ich hab ein Problem mit folgendem Beispiel:

Bezeichne

k_{i} \subseteq ℝ^{2}

den Rand des Kreises mit Radius

i

und Mittelpunkt (0,0). Sei

B \subseteq (x, y) ∣ x \geq 0, y \geq 0

der Bereich, der durch die erste Mediane (d.h. die Gerade mit der Gleichung

y = x

), die x-Achse und die Kreislinien

k_{1}

und

k_{2}

begrenzt wird. Fertigen Sie eine Skizze des Bereichs an und berechnen Sie das Integral

\int_{}^{} \int_{B}^{} x y d x d y

Als Hinweis steht noch da: Polarkoordinaten.

Allerdings weiß ich nicht recht wie ich das angehen soll. Ich hab die Skizze bereits angefertigt und meiner Überlegung nach müsste ich doch jetzt einfach nur die Kreisfunktion nehmen, den jeweiligen Radius (1 und 3) einsetzen und dann beim ersten Integral von der Kreisfunktion mit Radius 1 bis zur Kreisfunktion mit Radius 3 integrieren und als inneres Integral dann von y=0 bis y=x integrieren. Mit den Hinweis der Poolarkoordinaten kann ich aber leider nicht viel was anfangen, vielleicht kann mir ja jemand von euch auf die Sprünge helfen!

Danke schonmal im voraus!

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Honig1 aktiv_icon

11:42 Uhr, 03.07.2011

Dein "Bereich" ist

x^{2} + y^{2} < i^{2}

und

0 \leq y \leq x

Jetzt substituierst du zu Polarkoordinaten mit

y = r \sin φ

und

x = r \cos φ

Daraus ergibt sich ein neuer Bereich durch einsetzen in den alten Bereich:

r^{2} < i^{2}

und

0 \leq r \sin φ \leq r \cos φ \overset{}{\Rightarrow} 0 \leq φ \leq \arctan 1 = \frac{π}{4}

Das ist noch trivial. Durch die Substitution geht allerdings

d x d y

über in

r \cdot d r d φ

. Damit sollte es eigentlich klappen.

Also bei dir

\int_{0}^{i} \int_{0}^{\frac{π}{4}} r \cos φ \cdot r \sin φ \cdot r \cdot d φ d r

evilcrazy aktiv_icon

12:47 Uhr, 03.07.2011

Hi!

Danke für die Antwort, habs jetzt mal ausgerechnet und komm auf

\frac{i^{4}}{16}

Versteh aber nicht ganz wie du auf den Bereich kommst. Also warum gehst du davon aus das

x^{2} + y^{2} < i^{2}

ist? Bzw. wie kommt man auf

0 \leq y \leq x

?

Wäre für eine kleine Erklärung dankbar :-)

lg

fisher18 aktiv_icon

14:46 Uhr, 03.07.2011

Wichtig ist, dass

x, y \geq 0

. Warum

x \geq y \geq 0

ist, weiß ich jezt auch nicht.

Die allgemeine Kreis(rand)gleichung lautet

x^{2} + y^{2} = r^{2}

. In deinem Fall ist der Radius

r = i

. Allerdings begrenzt der Rand

k_{i}

den Bereich nur, gehört also nicht zu diesem dazu, d.h. es gilt:

x^{2} + y^{2} < i^{2}

.

Grüße
fisher

Honig1 aktiv_icon

16:01 Uhr, 03.07.2011

x^{2} + y^{2} = r^{2}

ist die Kreisgleichung mit Radius

r

. Du willst ja alle Punkt in diesem Kreis also:

x^{2} + y^{2} \leq r^{2} \overset{}{\Leftrightarrow} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq r

Desweiteren willst du alle Punkte die zwischen der x-Achse und der Winkelhalbierenden liegen. Also alle Punkte die sowohl überhalb der x-Achse liegen (

\overset{}{\Rightarrow} x > 0

) und des weiteren unterhalb der Winkelhalbierenden, das sagt ja nichts anderes als das der y-Wert deines Punktes kleiner sein muss als der x-Wert (

\overset{}{\Rightarrow} y < x

) .Zusammen

0 \leq y \leq x

Also nur positive Werte von x und y (1.Quadrant) mit der Eigenschaft, dass sie unterhalb der Winkelhalbierenden sind.

evilcrazy aktiv_icon

21:32 Uhr, 03.07.2011

Ah okay klar soweit, und wie kommt man von

0 \leq r * s i n φ \leq r * c o s φ

auf

0 \leq φ \leq a r c t a n 1

Das r kann man wegkürzen, ist mir klar aber dann?

Danke für euer Bemühen :-)

fisher18 aktiv_icon

23:51 Uhr, 03.07.2011

Das ist eine ganz einfach Ungleichung. Teile durch

r

und durch

c o s (φ)

, d.h.:

0 \leq \frac{s i n (φ)}{c o s (φ)} \leq 1

usw.

Grüße
fisher

evilcrazy aktiv_icon

11:29 Uhr, 04.07.2011

Danke für eure Erklärungen ;-) hab jetzt alles verstanden!

LG ;-)

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