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Berührpunkt zweier Graphen

Schüler

Tags: Berührpunkt, Funktion, Variabeln

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08:02 Uhr, 18.03.2025

Gegeben ist eine Funktion

h (x) = \frac{a}{x}

. Gesucht wird

a > 0

und der Punkt U. Dabei sollen sich die beiden Funktionen

f

und

h

im Punkt

U

berühren.

Ohne näher in das Beispiel hineingegangen zu sein, kann ich ohne die Funktion

f,

die scheinbar nicht gegeben ist, hier keinen Ansatz sehen. Was übersehe ich?

Hintergrund: Das war ein Schularbeitenbeispiel aus dem Vorjahr

(11

. Schulstufe Gymnasium). Meine Tochter hat sich damit auf ihre Schularbeit vorbereitet. Wir sind hier nicht weitergekommen./x

= 0

(DIESEN TEXT BITTE LÖSCHEN)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

calc007

08:17 Uhr, 18.03.2025

Hallo
Hier das selbe: Zeig doch mal einen Scan der vollständigen Aufgabe im Zusammenhang.
Es ist doch von einer Funktion "f" die Rede, von der du uns aber absolut nichts zeigst.
Hältst du uns für Hellseher?

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09:20 Uhr, 18.03.2025

Es gibt hier keinen anderen Zusammenhang. Dasselbe wie bei meiner anderen Frage. Dieses Beispiel ist ein eigenes Beispiel und bezieht sich nicht auf ein anderes Beispiel.

Mir ist bewusst, dass immer hier immer wieder unvollständige Fragen gestellt werden. Deshalb habe ich die Angabe vom Mathelehrer auch angehängt.

Das heißt, die Aufgabenstellung ist so unvollständig und kann nicht gelöst werden, oder?

Danke jedenfalls für die Mühe.

HAL9000

09:25 Uhr, 18.03.2025

Das gleiche in grün wie im anderen Thread: Ein abgeschnittener Scan einer Teilaufgabe, wo ziemlich sicher ist, dass im Hauptteil der Aufgabe die nötigen Infos zu finden sind. Soviel Textverständnis sollte man schon haben, um das erkennen zu können, statt sich auf den unhaltbaren Standpunkt zurückzuziehen "das ist die komplette Aufgabenstellung".

calc007

09:25 Uhr, 18.03.2025

Ja, die Angaben sind zu unvollständig, um hieraus eine sinnvolle Matheaufgabe zu er-orakeln.

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09:26 Uhr, 18.03.2025

Auch hier nochmals die komplette Seite. Wie gesagt, für mich besteht kein Zusammenhang zwischen den letzten beiden Beispielen und den anderen.

HAL9000

09:30 Uhr, 18.03.2025

Ganz oben steht doch die Funktion

f (x) = \frac{18 x - 27}{x^{3}}

. Aber erst ewig abstreiten... :(

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09:32 Uhr, 18.03.2025

Stimmt, dass habe ich übersehen, weil ich keinen Zusammenhang mit den Beispielen gesehen habe. Bei dieser Aufgabe kann ich das jetzt nachvollziehen. Tut mir leid. Ich werde es mir anschauen, und bei Bedarf nochmals an euch wenden, wenn wir hier nicht weiterkommen.

Sorry.

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22:31 Uhr, 18.03.2025

Mein Lösungsweg dazu:

Da ich den Schnittpunkt

U

der beiden Funktionen

h (x) = \frac{a}{x}

und

f (x) = \frac{18 x - 27}{x^{3}}

suche, setze ich

h (x) = f (x)

mit der Bedingung, dass

a > 0

sein muss.

Also

\frac{a}{x} = \frac{18 x - 27}{x^{3}}

Durch umformen erhalte ich dann ax^2-18x+27=0 und weiter

x^{2} - \frac{18}{a} \cdot x + \frac{27}{a} = 0

Um diese Gleichung lösen zu können, verwende ich die pq-Formel:

+ \frac{18}{2} a \pm \sqrt{\frac{18^{2}}{4} a^{2} - \frac{27}{a}}

Um Lösungen zu erhalten muss die Diskriminate

D \geq 0

sein. Da ich eine Lösung brauche, wähle als weitere Vorgangsweise:

D = 0

.

Daraus folgt:

\frac{18^{2}}{4} a^{2} - \frac{27}{a} = 0

Durch umformen erhalte ich:

\frac{18^{2}}{108} = a

und dann

a = 3

. Somit erhalte ich die Funktion

h (x) = \frac{3}{x}

Dieses

a = 3

setze ich in die pq-Formel oben ein und bekomme

x = 3

h (3) = \frac{3}{3} = 1

. Damit ist

y = 1

und ich kenne den Schnittpunkt

U (3,1)

.

Ich denke, dass ich das soweit gut gelöst habe.

Aber jetzt interessiert mich Folgendes:

Wenn

D \geq 0

ist, dann habe ich

\frac{18^{2}}{4} a^{2} - \frac{27}{a} \geq 0

Durch umformen erhalte ich

a \leq 3

. Mit der Bedingung, dass

a = 0

ist, erhalte ich folgendes Intervall für

a = (0,3]

.

Das heißt für jeden Wert in diesem Intervall finde ich zumindest einen Schnittpunkt, oder? Das heißt eigentlich gibt es hier unendlich viele Lösungen, weil es ja unendlich viele Möglichkeiten für a innerhalb dieses Intervalls gibt. Denke ich hier richtig?

calc007

23:47 Uhr, 18.03.2025

Tipp:

\frac{18}{2} = 9

(Fast) richtig war noch:

x_{1; 2} = \frac{9}{a} \pm \sqrt{\frac{9^{2}}{a^{2}} - \frac{27}{a}}

Dann, dein "Da ich eine Lösung brauche, wähle als weitere Vorgangsweise: D=0."
Ehrlich gesagt, das klingt ein wenig nach Raterei.
Was hast du dir dabei gedacht? Wie lautet die Argumentation?
Keine Sorge - vielleicht hast du dabei sogar was Wahres genutzt. Aber, solang deine Begründung so schwammig ausfällt, wissen wir nicht, in welchem Umfang dies zufällig war.

Und

-

in deinem letzten Abschnitt hast du dann ja auch genau diese Unsicherheit zum Ausdruck gebracht...

Tipp Nr.

2 :

Der Aufgabentext fordert doch:
"... für das die Graphen der Funktion

f

und

h

einander in einem Punkt

BERÜHREN"

Was bedeutet "berühren"?
Welche Eigenschaft trifft dort noch zusätzlich für die Funktionen

f

und

h

zu?

Tipp Nr.

3 :

Mach doch mal eine Skizze von deinen bisherigen Bemühungen, Zwischenergebnissen und Graphen.
Ggf. hilft dir heutzutage ja vielleicht ein GTR.
Du wirst sehen: eine Skizze vor Augen führt das Tun in ein viel systematischeres Verständnis.

Guten Mutes! Du bist auf einem guten Weg!

Randolph Esser aktiv_icon

01:10 Uhr, 19.03.2025

Für

a, x \neq 0

gilt

h (x) = f (x)

\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{18 x - 27}{x^{3}}

\Leftrightarrow x^{2} - \frac{18}{a} x + \frac{27}{a} = 0

\Leftrightarrow x_{1,2} = \frac{9}{a} \pm \sqrt{{(\frac{9}{a})}^{2} - \frac{27}{a}}

.

Da

| {(\begin{matrix} x \\ h (x) \end{matrix}) : x \in R \ {0}} \cap {(\begin{matrix} x \\ f (x) \end{matrix}) : x \in R \ {0}} | = 1

gelten soll

(die Schnittmenge der Graphen soll die Kardinalität 1 haben,
sprich: Es soll genau einen einzigen "Berührpunkt" geben),

muss

\sqrt{{(\frac{9}{a})}^{2} - \frac{27}{a}} = 0

gelten.

Es folgt

0 = \sqrt{{(\frac{9}{a})}^{2} - \frac{27}{a}}

\Leftrightarrow 0 = 81 - 27 a \Leftrightarrow a = 3

und damit dann

U = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})

.

In das Übungsblatt ist also

a = 3 \to U = (3 | 1) \to h (x) = \frac{3}{x}

einzutragen.

HAL9000

08:35 Uhr, 19.03.2025

> Was bedeutet "berühren"?
> Welche Eigenschaft trifft dort noch zusätzlich für die Funktionen

f

und

h

zu?

Wichtige Fragen, zumal die Faustregel "Diskriminante = 0" nur auf eine eng bestimmte Funktionsklasse anwendbar ist (rationale Funktionen

f (x) - h (x)

mit quadratischem Polynom im Zähler). Z.B. lässt sich die analoge Frage für

f (x) = e^{x}

und

h (x) = a x

mit dieser Faustregel nicht beantworten.

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14:44 Uhr, 19.03.2025

Vielen herzlichen Dank an alle.

Diskriminante

D = 0 -

ergibt genau eine Lösung (und gemäß Aufgabenstellung wird nur ein Berührpunkt gesucht) und somit fallen

D > 0

[

zwei Lösungen] und

D < 0

[

keine Lösung in

R]

weg.

Bedingung, dass es sich um einen Berührpunkt handelt: Beide Ableitungen müssen an der Berührstelle den gleichen Wert haben (h'(xB)=f'(xB).

Ärger mich nun ein wenig selber, dass ich nicht genau genug gearbeitet habe.

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14:45 Uhr, 19.03.2025

Vielen herzlichen Dank an alle.

Diskriminante

D = 0 -

ergibt genau eine Lösung (und gemäß Aufgabenstellung wird nur ein Berührpunkt gesucht) und somit fallen

D > 0

[

zwei Lösungen] und

D < 0

[

keine Lösung in

R]

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14:45 Uhr, 19.03.2025

Vielen herzlichen Dank an alle.

Diskriminante

D = 0 -

ergibt genau eine Lösung (und gemäß Aufgabenstellung wird nur ein Berührpunkt gesucht) und somit fallen

D > 0

[

zwei Lösungen] und

D < 0

[

keine Lösung in

R]

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14:45 Uhr, 19.03.2025

Vielen herzlichen Dank an alle.

Diskriminante

D = 0 -

ergibt genau eine Lösung (und gemäß Aufgabenstellung wird nur ein Berührpunkt gesucht) und somit fallen

D > 0

[

zwei Lösungen] und

D < 0

[

keine Lösung in

R]

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14:58 Uhr, 19.03.2025

Vielen herzlichen Dank an alle.

Diskriminante

D = 0 -

ergibt genau eine Lösung (und gemäß Aufgabenstellung wird nur ein Berührpunkt gesucht) und somit fallen

D > 0

[

zwei Lösungen] und

D < 0

[

keine Lösung in

R]

Roman-22

16:50 Uhr, 19.03.2025

>

Bedingung, dass es sich um einen Berührpunkt handelt: Beide Ableitungen müssen an der Berührstelle den gleichen Wert haben (h'(xB)=f'(xB).

Eben, daher wäre der allgemeinere Weg, das Gleichungssystem

f (x) = h_{a} (x)

f' (x) = h_{a}' (x)

nach

x

und a zu lösen.

Im konkreten Fall also das System

\frac{18 x - 27}{x^{3}} = \frac{a}{x}

- \frac{9 \cdot (4 x - 9)}{x^{2}} = - \frac{a}{x^{2}}

welches sich leicht zu

2 x - 3 = \frac{1}{9} \cdot a \cdot x^{2}

4 x - 9 = \frac{1}{9} \cdot a \cdot x^{2}

vereinfachen lässt.

Subtraktion der beiden Gleichungen liefert sofort

x = 3

und durch Einsetzen in eine der beiden Gleichungen ergibt sich

a = 3

.
Lösung einer quadratischen Gleichung ist dazu nicht nötig.

Randolph Esser aktiv_icon

18:42 Uhr, 19.03.2025

Ja, das ist besser als mein Weg oben,
da es auch den Beweis enthält,
dass es sich tatsächlich um
einen (den einzigen) Berührpunkt handelt...

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