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Besondere Regeln für Wuzeln aus negativen Zahlen
Schüler
Tags: #komplexezahl, Wurzel
 
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Hallo, ich bin gerade auf ein Video auf Youtube gestoßen, dass mich etwas irritiert. Leider gibt mein Taschenrechner der vorgestellten Lösung recht, darum frage ich mich, ob es für Wuzeln aus negativen Zahlen andere Rechenregeln gibt. Man kann doch Quadratwurzeln wie folgt zusammenfassen: Warum ist das bei negativen Zahlen nicht erlaubt?! Statt dessen wird als Lösung vorgestellt: Habe ich da in der Schule nicht aufgepasst? Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) |
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. oder lasse ich mich da gerade täuschen, denn und Also wäre das Zusammenfassen der Wurzelausdrücke doch auch möglich und führt dann auch zur Lösung... |
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ist hier keine Lösung. Du verwechselst das mit: |
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> So ist es - die Rechenregel gilt nun mal für komplexe i.a. NICHT (die Wurzel dort jeweils als Hauptwert verstanden). |
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Was ist die genaue formale Begründung? Oder ist das nur eine Festsetzung? Warum gelten die Potenzregeln nicht? |
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Viele Dank für die Antwort. Hat etwas gedauert, aber jetzt habe ich es verstanden. Eine Funktion ordnet jedem genau ein zu, damit kann nur genau eine Lösung habe, während die Gleichung mehrere haben kann. Aber trotzdem sieht die Lösung für richtig aus. Es sei denn man erschlägt es mit dem Argument, dass es nicht für negative Zahlen definiert ist. |
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Man setzt nicht fest, dass eine Regel NICHT gilt - sondern man beweist eine Regel dort, wo sie gilt. Im komplexen kann man dies für die obige Regel offenbar nicht, wie das Gegenbeispiel zeigt. Richtig ist im Bereich der komplexen Zahlen nur folgendes: Gelten für sowie positive ganze Zahlen die Gleichungen = a und , dann erfüllt die Gleichung . In Worten: Multipliziert man eine -te Wurzel von mit einer -ten Wurzel von , so bekommt man EINE -te Wurzel von . Es ist dabei aber NICHT garantiert, dass Produkt eine HAUPTWERT-Wurzel von ist - selbst dann nicht, wenn und entsprechende Hauptwert-Wurzeln sind. Und Symbolik steht nun mal nach allgemein anerkanntem Verständnis nur für den Hauptwert der -ten Wurzeln einer komplexen Zahl , nicht für die Menge aller solchen Wurzeln. |
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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. |
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Vereinfacht kann man sagen: Für positive reelle Zahlen ist die Wurzel von x diejenige positive reelle Zahl y, für die ist. Dafür lässt sich nachweisen, dass ist. Für negative x existiert keine reelle Zahl als Wurzel. Deshalb ist die Lösung zunächst für positive x, und hier gibt das Produkt eben nicht für positive a und b. Die Produnktregel für die Wurzel lässt sich nicht auf negative Radikanden übertragen. |
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