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Bestimmen von Definitionslücken und Grenzwerte

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Gebrochenrationale Funktionen

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen

flyer71093 aktiv_icon

10:30 Uhr, 29.01.2011

Halli Hallo,

Wie ihr schon gelesen habt geht es um Definitionslücken und Grenzwert ;-)
Ich hab aus dem Unterricht leider nichts Verstand also hoffe ich auf eure hilfe :-)
Nunja....:

Bestimmen Sie die Definitionslücken von

f

. Stellen Sie fest, ob

f

an den Definitionslücken Grezwerte besitzen, und geben Sie diese gegebenenfalls an.

a) f (x) = \frac{4}{x - 2}

b) f (x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 6 x + 9}

Ich hab extra mal ne leichte und ne etwas schwerere genommen.
Ich habt keine Ahnung was ich machen soll

: (

Wahrscheinlich ist es ganz easy wenn mans Kapiert hat

: b

Achja wäre auch schon wenn ihr mir die beiden Begriffe erklären könnten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

CKims aktiv_icon

10:37 Uhr, 29.01.2011

Definitionsbereich:

alle zahlen, die man fuer

x

einsetzen darf.

Definitionsluecke:

stell dir vor, du darfst alle zahlen fuer

x

einsetzen, die auf dem zahlenstrahl liegen. und du nimmst beispielsweise die 7 weg. dann hast du dort eine luecke. man darf dann also alle zahlen ausser der 7 fuer

x

einsetzen.

welche zahlen darf man bei

a)

nicht einsetzen? welche zahl sorgt also dafuer, dass etwas verbotenes entsteht?

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12:03 Uhr, 29.01.2011

Das wäre dann wohl die 2 ;-)
Ist das dann der Grenzwert?

Shipwater aktiv_icon

12:15 Uhr, 29.01.2011

Nein,

x = 2

ist die Definitionslücke. Du kannst ja mal ein paar Funktionswerte nahe der 2 berechnen.

f (2,1) = 40

f (2,01) = 400

f (2,001) = 4000

f (2,0000000001) = 40000000000

Umso näher du dich der 2 von rechts näherst, umso größer scheinen die Funktionswerte wohl zu werden.

f (1,9) = - 40

f (1,99) = - 400

f (1,999) = - 4000

f (1,9999999999) = - 40000000000

Umso näher du dich der 2 von links näherst, umso kleiner scheinen die Funktionswerte wohl zu werden.
Vermutung:

lim_{x \to 2^{+}} \frac{4}{x - 2} = \infty

und

lim_{x \to 2^{-}} \frac{4}{x - 2} = - \infty

(Polstelle mit Vorzeichenwechsel)
Demnach würde der Grenzwert

lim_{x \to 2} \frac{4}{x - 2}

nicht existieren.
Du kannst das auch rechnerisch zeigen, indem du wiefolgt ansetzt:

lim_{x \to 2^{+}} \frac{4}{x - 2} = lim_{h \to \infty} \frac{4}{2 + \frac{1}{h} - 2} = . .

. bzw.

lim_{x \to 2^{-}} \frac{4}{x - 2} = lim_{h \to \infty} \frac{4}{2 - \frac{1}{h} - 2} = . .

.
Allgemein kann man auch sagen, dass es dann keinen Grenzwert an einer Definitionslücke gibt, wenn sich dieser nicht kürzen (heben) lässt.

Gruß Shipwater

flyer71093 aktiv_icon

18:10 Uhr, 01.02.2011

Sorry für die Späte antwort und danke für die Hilfe ;-)
Also das müsste ich verstanden haben. Ich hab dann mal die nächste gemacht die wie folgt lautet:

f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x - 2}

Hier müsste es dann doch keinen Grenzwert geben oder?

x 0 = 2

Setzt man 2 ein gibt es keine Lösung also ist das unsere Definitionslücke

f (2.1) = - 4.1

f (2.01) = - 4.01

f (2.001) = - 4.001

f (1,9) = - 3.9

f (1,99) = - 3.99

f (1,999) = - 3.999

Aber hier näher sich die Werte doch auch unendlich an!?
Also:

lim \frac{4 - x^{2}}{x - 2}

x \to 2

Es dürfte also keinen Grenzwert geben

Oder hab ich da was Komplett falsch verstanden?

Flo1990 aktiv_icon

18:20 Uhr, 01.02.2011

Hallo,
bei der Funktion

f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x} - 2

darfst du die 2 ohne Probleme einsetzen. Wenn der Zähler 0 wird, dann ist das erlaubt und kein Problem. Lediglich der Nenner darf nicht 0 werden und das tut er nur bei

x = 0

. Also hat die Funktion dort eine Definitionslücke, da du ansonsten alles einsetzen darfst, nur die 0 nicht, weil du dann halt durch 0 teilen würdest, was nicht erlaubt ist.

Schließen kannst du diese Definitionslücke auch nicht, da du da nix kürzen kannst, womit die 0 erlaubt wäre.

Bei deiner 2. Funktion, also

f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x - 2}

darfst du die 2 nicht einsetzen, weil der Nenner dann wieder 0 werden würde, ALLERDINGS kannst du hier die Definitionslücke schließen. Denn der Zähler lässt sich mit der 3. binomischen Formel zerlegen in

(2 - x) (2 + x)

und dann kannst du kürzen, indem du noch einen Faktor

(- 1)

ausklammerst:

f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x - 2} = \frac{(2 - x) (2 + x)}{(- 1) \cdot (- x + 2)} = - \frac{(2 - x) (2 + x)}{- x + 2} = - \frac{(2 - x) (2 + x)}{2 - x} = - (2 + x) = - 2 - x

Also Definitionslücke bedeutet: Welche Zahl(en) darf man nicht einsetzen. Das sind immer die Zahlen, womit der Nenner im Bruch 0 wird, man

z . B

. nen nicht positiven Logarithmus hätte oder man etwas negatives unter der Wurzel stehen hätte.

Grenzwert bedeutet: Wenn

x

gegen diese Zahl geht, gegen was geht dann die Funktion. Also bei

\frac{1}{x}

und wenn

x \to \infty

geht, dann wird der Nenner immer kleiner und die Funktion geht gegen 0. Bei anderen Grenzwerten als unendlich muss man gucken, ob man die Zahl direkt einsetzen darf, ansonsten den Ausdruck soweit umschreiben, dass man es einsetzen kann. Geht es nicht, dann hat man idR. eine Definitionslücke vorliegen.

Praktisch bedeutet das auch: Wenn du eine Zahl minimal kleiner als den Grenzwert einsetzt

(z . B

1.99

statt

2)

und minimal größer

(z . B

2.01)

und die Grenzwerte stimmen nicht überein, sondern entfernen sich voneinander, dann liegt hier auf jeden Fall eine Definitionslücke vor.

flyer71093 aktiv_icon

18:28 Uhr, 01.02.2011

Ohh sorry hab bei der ersten die Klammern vergessen habs nochmal bearbeitet

Flo1990 aktiv_icon

18:32 Uhr, 01.02.2011

Ah fast schon gedacht. Naja egal. Auf jeden Fall siehst du, dass sich der links- und der rechtsseite Grenzwert dem Wert

- 4

annähern. Das ist schonmals ein starkes Indiz dafür, dass du kürzen kannst und du diese Definitionslücke bei

x = 2

beheben kannst, wie es ja auch geht (siehe oben).

Du kannst also sagen: der Grenzwert an der Stelle

x = 2

existiert und lautet

- 4,

denn sowohl von links, als auch von rechts kommend, ist der Grenzwert eindeutig. Wenn er verschieden wäre (also einer gegen

+ \infty,

der andere gegen

- \infty),

dann wäre er nicht eindeutig und würde auch nicht existieren.

flyer71093 aktiv_icon

18:38 Uhr, 01.02.2011

Also schaut dann so die Lösung aus?

lim \frac{4 - x^{2}}{x - 2} = - 4

x \to 2

\frac{4 - x^{2}}{x - 2}

konvergiert gegen

- 4

Shipwater aktiv_icon

07:05 Uhr, 02.02.2011

Richtig.

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