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Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden
Universität / Fachhochschule
Tags: Geraden, Schnittpunkt
 
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Zwei Geraden sind lang und stehen in einem Abstand von zueinander, sie ragen vertikel in den Himmel und stehen damit parallel zueinander, man muss sich nur zwei sehr hohe Bohnenstangen vorstellen. Die Spitzen der Geraden bewegen sich nun mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinander zu, und zwar bewegt sich die linke Gerade doppelt so schnell nach innen wie die rechte Gerade. Während die rechte Gerade sich um 1 Grad nach innen bewegt, bewegt sich die linke Gerade um 2 Grad, also mit doppelter Winkelgeschwindigkeit. Der Fußpunkt der Geraden bleibt bestehen. Wie kann man den Schnittpunkt exakt mathematisch bestimmen? Würden sie sich mit gleicher Geschwindigkeit aufeinander zubewegen, träfen sich die Geraden mit ihren Spitzen, so aber stößt die linke Gerade mit ihrer Spitze an die Flanke der rechten Gerade. Ich habe eine Animation, die den ungefähren Schnittpunkt grafisch darstellt, aber an der mathematischen Bestimmung des Schnittpunktes verzweifle ich. In der ersten Grafik zeige ich die Ausgangssituation, in der zweiten Grafik die Endstellung, in der Endstellung wird der ungefähre Schnittpunkt in blauer Schrift angezeigt. Es ist keine Trivialität, den Schnittpunkt im Vorfeld zu bestimmen, falls das überhaupt möglich ist (???). Die spätere Lösung soll auch auf andere Parameter von Abstand und Länge der Geraden anwendbar sein, die jeweils hier sind nur beispielhaft. Besten Dank vorab!   |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Schnittpunkte bestimmen Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme |
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Na offenbar entsteht (rechtes Bild bei dir) zum Schnittzeitpunkt ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Basiswinkeln und Scheitelwinkel . Aus Winkelsumme folgt damit Winkelbewegung des langsameren, und entsprechend die des schnelleren Pfahls. Na, 45°-Winkel ist doch was sehr einfaches, daher bekommt man (siehe wiederum dein rechtes Bild) . > Die spätere Lösung soll auch auf andere Parameter von Abstand und Länge der Geraden anwendbar sein, die jeweils 20m hier sind nur beispielhaft. Spezifiziere das bitte genauer, was alles variabel ist: Beispielsweise auch unterschiedliche Längen der Pfähle? Wählbarer Faktor für das Verhältnis der beiden Winkelgeschwindigkeiten (also nicht nur 2), etc. ? P.S.: "Gerade" ist hier eine völlig unpassende Bezeichnung, Geraden sind unendlich lang. Wenn schon geometrisch bezeichnet, dann bitte "Strecke". |
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Hallo Wenn ich ergänzen dürfte: Ich vermute, wir dürfen verallgemeinernd den Abstand der Drehpunkte variieren. Ich habe mal die Größen für diesen Abstand und eingeführt. Wie man sieht, lässt sich der Zusammenhang per Sinus-Satz in eine Formel führen. Wenn wir das Verhältnis der 'Winkelgeschwindigkeiten' mit 2 festsetzen dürfen, komme ich verallgemeinernd auf: Ob wir das explizit nach auflösen können, habe ich noch nicht probiert. Sollten wir auch noch das Verhältnis der 'Winkelgeschwindigkeiten' variiren müssen, werden wir eh sehr bald auf rein numerische Näherungsverfahren zurückgreifen müssen.  |
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Danke, aber ich verstehe Deinen Lösungsansatz nicht. Es ist doch kein gleichschenkeliges Dreieck im Endzustand und der Scheitelwinkel hat auch keine Grad. Die linke Gerade bleibt bei aber ausgehend vom Schnittpunkt bis zum Fußpunkt ist die rechte Gerade doch nach dem Berühren viel kürzer. Auch Deine Annahmen zum Winkel verdeutlichen mir nicht, wie ich im Vorfeld den Schnittpunkt bestimmen kann. Mit Veränderbarkeit der Parameter meine ich, dass Abstand und Länge, hier jeweils in der Antwort verändert werden können sollen, also Abstand und Höhe usw. Die Winkelgeschwindigkeit soll erstmals immer das Doppelte von einer Geraden zur anderen sein. Es gibt auch Parameter, die zu keiner Lösung führen. Wenn die Geraden auseinander stehen und nur hoch sind, klappt die linke Gerade auf die Horizontale, ohne je die rechte Gerade zu berühren. Auch aus der zweiten Antwort kann ich nicht ableiten, wie ich damit im Vorfeld den exakten Schnittpunkt bestimmen kann, ich denke, die Fragestellung und damit die Lösung ist sehr tiefgehend. |
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gleichschenklig in deinen ursprünglichen Angaben ist: PS: Ja, für dein Beispiel gibt's keine Lösung. (Ich vermute, du schränkst gedanklich auf 90° ein.) |
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"Auch aus der zweiten Antwort kann ich nicht ableiten, wie ich damit im Vorfeld den exakten Schnittpunkt bestimmen kann," Es ist eine Bestimmungsgleichung für die drei Größen . In anderen Worten, wenn du zwei der Größen gegeben hast, kannst du mit der Formel die dritte Größe errechnen. Für wie gesagt nötigenfalls einfach numerisch per Näherungsverfahren. Für dein Beispiel käme ich damit zu: rad] Mathematisch gibt's grundsätzlich zwei Lösungen, aus Symmetrie: 60° und ich vermute, dich interessiert pragmatisch nur der erste (kleinere) von beiden. Damit kommt man auch auf die Grenzen dafür, dass es eben Lösungen gibt: w_grenz alpha_grenz= 30° |
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Ich kann Dir leider nicht folgen, vielleicht bin ich auch zu dumm. Kannst Du mal bitte anhand der Ausgangsparameter Höhe, Abstand, doppelte Winkelgeschwindigkeit der linken Gerade) den Schnittpunkt exakt bestimmen, so dass ich das nachvollziehen kann? Ich danke dir sehr! |
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Dafür hilft dir ja schon HAL. |
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Ich kann mit diesen fragmentierten Kurzantworten nichts anfangen. HAL geht doch von Annahmen aus (gleichschenkliges Dreieck, rechter Winkel im Scheitel), die offenbar nicht stimmen. |
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gleichschenklig in deinen ursprünglichen Angaben ist: |
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Vielleicht hilft dir diese Zeichnung, das Dreieck mit den beiden gleich langen Schenkeln zu erkennen und zu folgern, dass dann auch die beiden Winkel gleich groß sein müssen. Wie HAL schon geschrieben hat, folgt dann, weil die Winkelsumme in jedem Dreieck ist, dass ist und mit dem von dir gewähltem Koordinatensystem ergibt sich fü den Schnittpunkt dann eben, wie auch von HAL schon genannt, . Variiert werden könnten sowohl die beiden Stablängen deren Horizontalabstand und das Verhältnis ihrer Winkelgeschwindigkeiten. Das führt dann allgemein auf Gleichungen wie zB welche . vermutlich nur mehr mit numerischen Näherungsverfahren lösbar sein werden. ist dabei der vom Stab mit der Länge überstrichene Winkel. Für deine ursprüngliche Angabe gilt da ja und, wenn wir die Länge des linken, schnelleren Stabs mit bezeichnen,ist . Mit diesen speziellen Angaben lässt sich die oben angegebene Gleichung exakt lösen mit allgemeinen Werten wird das meist eher nicht möglich sein. Daher solltest du auch nicht auf eine allgemeine Formel hoffen, in welche du die Eingabewerte und eingibst und welche dir den Winkel bzw. die Schnittpunktskoordinaten (welche ja auch nicht bei jeder Angabe reell existieren) liefert. Manchmal stößt man eben auch bei scheinbar einfachen und elementaren Aufgabenstellungen schnell an die Grenzen des exakt Berechenbaren. Für und gibt es mithilfe eines CAS sogar noch eine exakte Lösung (siehe Bild im Anhang). Den numerischen Wert hatte calc ja schon genannt.  |
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Sorry, die Grundseite und linke Seite des Dreiecks sind natürlich gleich lang und damit besteht ein gleichschenkliges Dreieck, hatte das übersehen. Mal schauen, wie ich damit irgendwie klar komme, auch wenn es andere Parameter sind und das Dreieck nicht gleichschenkelig ist. |
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Wenn das Dreieck nicht gleichschenkelig ist, also der Abstand ist, dann wirst du vermutlich um den Sinussatz und damit eine Gleichung wie ich sie angegeben habe nicht herum kommen. Ein anderer Ansatz könnte zunächst den Schnittpunkt der beiden Geraden (die Trägergeraden der beiden Stab-Strcken) in Abhängigkeit eines variablen ermitteln. Die gesuchte Stelle ist dann gefunden, wenn der Abstand dieses Schnittpunkts von einem der beiden Drehpunkte genau der Stablänge entspricht, der Abstand vom anderen Drehpunkt aber kleiner als dessen Stablänge ist. Ob das rechentechnisch einfacher zu realisieren ist, habe ich mir jetzt nicht überlegt. Ich vermute, dass er Aufwand vergleichbar mit dem bisher verfolgten Ansatz sein dürfte. |
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Nachtrag zu meinem Schnell-Schuss von Richtig ist: Mathematisch gibt's grundsätzlich zwei Lösungen. Die Behauptung zur Symmetrie sei 60° ist natürlich falsch, und widerspricht der Forderung der doppelten 'Winkelgeschwindigkeit' auf der einen Seite gegenüber der anderen Seite. |
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Heut ist glaube ich echt nicht mein Tag. Ich hatte mich wohl von rechten Winkeln verleiten/verführen lassen und jetzt echt ein wenig zu knabbern, auch meine Blockade zu dämpfen. Also: auch der Grenzwinkel ist wohl nicht so geradzahlig, sondern eher w_grenz (bei alpha_grenz= rad ) Anbei das zugehörige Diagramm:  |
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