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Bestimttes Integral von x^3 berechnen,bin verwirrt

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

schmiddi86 aktiv_icon

16:17 Uhr, 21.06.2010

Hallo,

als Übungsaufgabe soll ich das Integral von x³ mithilfe von Summen in den Grenzen von 0 bis 2 berechnen. Also:

$\int_{0}^{2} x³ d x$

Normalerweise stellt das ja kein Problem dar, nur der Ausdruck "mithilfe von Summen" verwirrt mich etwas.

Als Hilfestellung habe ich noch die Angabe:

$\sum_{k = 1}^{n} k³ = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

Wäre nett wenn mir da jemand etwas auf die Sprünge helfen könnte, Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Alx123 aktiv_icon

16:27 Uhr, 21.06.2010

Hallo,

du sollst einfach das Integral mit der Riemann-Summe berechnen, also aus der Definition her.

schmiddi86 aktiv_icon

17:07 Uhr, 21.06.2010

Ok danke.

Nur leider hilft mir das nicht weiter, muss da irgendwo gepennt haben oder wir haben das irgendwie anders gemacht.

Kannst du mir noch weiter helfen?

Alx123 aktiv_icon

17:23 Uhr, 21.06.2010

Sei

Z = (a = x_{0} < . . . . < x_{n} = b)

eine Zerlegung des Intervalls

[a, b]

und ist

x_{k - 1} \leq ξ_{k} \leq x_{k}

so nennt man:

\sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) \cdot (x_{k} - x_{k - 1})

die Riemann-Summe. Wenn diese Summe konvergiert und

f

int'bar ist, dann ist der Grenzwert:

\int_{a}^{b} f (x) d x

Das solltest du kennnen, wenn du so eine Aufgabe kriegst.

schmiddi86 aktiv_icon

22:21 Uhr, 21.06.2010

Ok, habe das ganze in unserem Skript gefunden, nur leider sehr spärlich.

Daher komme ich damit auch nicht so wirklich klar.

Kannst du mir es vielleicht vorrechnen?

Denke dann würde ich es verstehen.

Vielen Dank!

Alx123 aktiv_icon

22:32 Uhr, 21.06.2010

Hier kann man die Standardzerlegung benutzen:

x_{k} = k \cdot \frac{b - a}{n}

und sei weiter:

ξ_{k} = x_{k}

also gilt für die Summe:

\sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) \cdot \frac{b - a}{n} = \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k}) \cdot \frac{b - a}{n} = \sum_{k = 1}^{n} {(k \cdot \frac{b - a}{n})}^{3} \cdot \frac{b - a}{n} = {(\frac{b - a}{n})}^{4} \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = {(\frac{b - a}{n})}^{4} \cdot {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}

Du musst jetzt den Grenzwert ausrechnen:

lim_{n \to \infty} {(\frac{b - a}{n})}^{4} \cdot {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}

schmiddi86 aktiv_icon

12:48 Uhr, 22.06.2010

Also das haben wir anscheinend wirklich noch nicht behandelt.

Gibts denn keine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?

magix aktiv_icon

13:06 Uhr, 22.06.2010

natürlich gibt es andere Möglichkeiten, aber in deiner Aufgabenstellung deutet alles darauf hin, dass genau das gefragt ist.

schmiddi86 aktiv_icon

20:48 Uhr, 22.06.2010

Das ist halt schon sehr komisch.

Wir haben soetwas ähnliches im Skript, allerdings auch nicht unter dem Begriff Riemann Summe.

kann mir jemand erklären wie Alx123 genau vorgegangen ist und was genau die einzelnen Variablen/Parameter bedeuten?

Vll Komme ich dann damit klar...

Danke!

hagman aktiv_icon

20:58 Uhr, 22.06.2010

Schonmal de.wikipedia.org/wiki/Riemann-Integral gelesen?

schmiddi86 aktiv_icon

21:50 Uhr, 22.06.2010

Ja, aber das bringt mich irgendwie nicht weiter, da ich momentan total auf dem Schlauch stehe.

Wäre nett wenn mir da jemand weiterhelden könnte.

Alx123 aktiv_icon

16:30 Uhr, 23.06.2010

Wo genau liegt denn jetzt dein Problem?

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