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Beweis der Quotientenregel

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Quotientenregel

Cherrymentol aktiv_icon

10:25 Uhr, 03.11.2012

Hallo Leute :-)

ich habe folgende Aufgabe und hoffe, dass ihr mir helfen könnt!

a)

Beweisen Sie für

g (x)

ungleich 0 die Ableitungsregel:

(\frac{1}{g (x)})' = - \frac{g' (x)}{{(g (x))}^{2}}

indem Sie den Grenzwert des Differenzenquotienten betrachten.

b)

Benutzen Sie die Produktregel und Teil

1)

um die Quotientenregel der Differentiation zu beweisen.

Danke im voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Quotientenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

10:49 Uhr, 03.11.2012

f (x) := \frac{1}{g (x)}

Differenzenquotient:

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{g (x + h)} - \frac{1}{g (x)}}{h} = - \frac{1}{h} \cdot \frac{g (x + h) - g (x)}{g (x + h) \cdot g (x)} =

- \frac{1}{g (x + h) \cdot g (x)} \cdot \frac{g (x + h) - g (x)}{h}

der erste Faktor geht bei h gegen Null wegen der Stetigkeit von g (die ja aus der Diff´barkeit folgt) gegen

- \frac{1}{g (x) \cdot g (x)}

, der zweite Faktor geht wegen der Diff´barkeit gegen

g ´ (x)

beide GW existieren, dann exist. nach einem GW-Satz der GW des Produktes und
daraus folgt insgesamt die Behauptung

anonymous

11:00 Uhr, 03.11.2012

2. Teil

[\frac{f (x)}{g (x)}] ´ = [f (x) \cdot \frac{1}{g (x)}] ´ =

Produktregel

f ´ (x) \cdot \frac{1}{g (x)} + f (x) \cdot [\frac{1}{g (x)}] ´ =

1.Teil

\frac{f ´ (x)}{g (x)} + f (x) \cdot [- \frac{g ´ (x)}{g^{2} (x)}] =

Hauptnenner

\frac{f ´ (x) g (x) - f (x) g ´ (x)}{g^{2} (x)}

Gruß

Cherrymentol aktiv_icon

11:11 Uhr, 03.11.2012

Wow, vielen Danke für die schnelle Antwort :-)

Cherrymentol aktiv_icon

09:25 Uhr, 04.11.2012

Kannst du mir das vielleicht kurz erklären?
wieso du bei

a)

zuerst mit

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

angefangen hast?

und bei

b)

Stellt der "Teil 1" nicht die Produktregel wie die Zeile davor da ?

Dankeschön! :-)

Cherrymentol aktiv_icon

09:27 Uhr, 04.11.2012

Kannst du mir das vielleicht kurz erklären?
wieso du bei

a)

zuerst mit

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

angefangen hast?

und wie du von Schritt 2 auf 3 kommt, sodass

- \frac{1}{h} \cdot \frac{g (x + h) - g (x)}{g (x + E) \cdot g (x)}

steht?

und bei

b)

Stellt der "Teil 1" nicht die Produktregel wie die Zeile davor da ?

Dankeschön! :-)

anonymous

09:40 Uhr, 04.11.2012

differenzierbar bedeutet doch: die Folge der D i f f e r e n z e n quotienten hat bei h gegen 0 einen GW - also bildet man zunächst den Differenzenquotient

Schritt 3 aus 2: Nenner vorziehen, Brüche gleichnamig machen

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