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Beweis für Zufallsgröße X die Formel E(X) und D(X)

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Streuung, Zufallsgröße

Blacksatori1 aktiv_icon

16:13 Uhr, 17.05.2014

Hallo liebe Community,

anbei findet ihr die Formeln.

Man soll hier für eine Zufallsgröße

X

die beiden im Anhang dargestellten Formeln beweisen.

Vorausgesetzt wird, dass die Zufallsgröße

X

nur positive ganzzahlige Werte annimmt und deren Varianz existiert.

Ich bin für jede Lösung, Ansatz, etc. dankbar.

PS: Meine Analysiskenntnisse sind nicht so berauschend!

Dennoch vielen lieben Dank schon einmal! :-)

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

DrBoogie aktiv_icon

17:52 Uhr, 17.05.2014

Nun, mit dem Eigenwert ist es nur halb so schlimm.
Am einfachsten geht es so:

E (X) = \sum_{m = 1}^{\infty} m P (X = m)

- das ist die Definition.
Wenn wir diese Summe "ausschreiben", kommt

P (X = 1) + 2 P (X = 2) + 3 P (X = 4) + . . .

raus.
Jezt schreiben wir diese Summe Zeile für Zeile, dabei wenn wir

m P (X = m)

haben, schreiben wir einfach

m

Mal den Wert

P (X = m)

.
Also haben:

E (X) =

= P (X = 1) +

+ P (X = 2) + P (X = 2) +

+ P (X = 3) + P (X = 3) + P (X = 3) +

+ P (X = 4) + P (X = 4) + P (X = 4) + P (X = 4) +

+ . . .

Und jetzt summieren wir diese Reihe "spaltenweise".
In der ersten Spalte steht

P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + . . . = P (X \geq 1)

.
In der zweien Spalte steht

P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + . . . = P (X \geq 2)

.
In der dritten Spalte steht

P (X = 3) + P (X = 4) + . . . = P (X \geq 3)

.
Usw.
Und die Summe der Spalten ergibt

\sum_{m = 1}^{\infty} P (X \geq m)

DrBoogie aktiv_icon

18:25 Uhr, 17.05.2014

Und für Varianz geht es ähnlich. Nur ist es besser, denselben Trick auf die Ergebnisreihe anzuwenden. Genauer gesagt, auf die Reihe

\sum_{m = 1}^{\infty} m P (X \geq m)

.
Wenn jetzt

m P (x \geq m)

spaltenweise aufgeschrieben werden:

\sum_{m = 1}^{\infty} m P (X \geq m) =

= P (X = 1) +

+ P (X = 2) + 2 P (X = 2) +

+ P (X = 3) + 2 P (X = 3) + 3 P (X = 3) + . . .

,
dann stehen in Zeilen Summen

(1 + . . . + m) P (X = m) = \frac{m^{2} + m}{2} P (X = m)

, daher

\sum_{m = 1}^{\infty} m P (X \geq m) = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{m^{2} + m}{2} P (X = m)

.
Der Rest folgt dann daraus, dass nach Definition

D^{2} (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = (\sum_{m = 1}^{\infty} m^{2} P (X = m)) - E (X)^{2}

Blacksatori1 aktiv_icon

20:47 Uhr, 17.05.2014

Vielen lieben Dank, dass hilft mir wirklich weiter.

Du hast es auch sehr schön nachvollziehend dargestellt!

*Daumen nach oben!* :-)

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