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Beweis von Surjektivität/Injektivität
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Abbildung, Funktion, injektiv, surjektiv
 
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Hallo, ich habe Probleme beim beweisen von Surjektivität oder Injektivität. Ich weiss was Surjektiv und Injektiv per Definition bedeutet jedoch weiß ich nicht wie ich das beweisen kann. Was mir in der Definition der Injektivität ein wenig Sorgen bereitet ist folgende Aussage: Injektiv heisst wenn für alle ,y∈X:f(x)=f(y) daraus folgt Denn kann ich doch immer einsetzen. Nehmen wir zb. folgende Funktion/Abbildung her Hier könnte ich ja immer sagen dies ist äquvalent zu und daraus folgt, dass Wie kann ich beweisen, ob diese Abbildung Surjektiv oder Injektiv ist? Muss ich das anhand vollständiger Induktion machen? Wäre nett wenn das jemand mit mir Schritt für Schritt durchgehen könnte, da ich schon ca. 2 Wochenenden damit verbracht habe, jedoch erfolglos... Schöne Grüße Marcel |
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Hi, "Hier könnte ich ja immer sagen f(x)=f(y) dies ist äquvalent zu 2x+1=2y+1 und daraus folgt, dass x=y" Genau, damit hast Du auch schon gezeigt, dass die Abbildung injektiv ist (Geraden sind immer injektiv) Nimm als Beispiel die Funktion es gilt: , also für demnach ist die Funktion nicht injektiv. Gruß, smoka |
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Das würde aber auf die Definition ankommen, denn wenn dann wäre sie ja injektiv. Was verstehst du unter "Geraden"? Aber auch hier könnte ich ja sagen Das ist das was ich nicht verstehe, ich kann ja immer sagen zb. Der Beweis das eine Funktion nicht injektiv ist, ist meiner Meinung nach eher noch leicht, da ich ja nur einmal beweisen muss, dass ein Wert 2 bzw. mehr als ein Urbild hat. Wie kann ich aber beweisen, dass für alle Werte gilt, dass eine Funtion surjektiv oder injektiv ist... |
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"Das würde aber auf die Definition ankommen, denn wenn f:R-→R+ dann wäre sie ja injektiv. " Ja richtig, aber mein Beispiel impliziert, dass abbildet! "Was verstehst du unter "Geraden"?" Eine Gerade ist eine Abbildung mit "Aber auch hier könnte ich ja sagen f(x)=f(y)→x2=y2→x=y" Nein, eben nicht. siehe mein Beispiel. Radizieren ist keine Äquivalenzumformung! "zb. f(x)=x3-x→f(x)=f(y)→x3-x=y3-y→x=y" Also wie Du das folgerst will ich mal sehen. Ich kann Dir sofort ein Gegenbeispiel angeben: |
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Genau das ist ja mein Problem, solang ich Terme verwende kann ich ja immer sagen wenn ich dann Zahlen einsetze schaut das anders aus. Aber wie kann ich dann anhand von Termen aussagen bzw. beweisen, dass zb. eine Funktion surjektiv oder injektiv ist. Also bei Injektivität beweisen, dass eine Funktion für alle einsetzbaren Werte immer nur genau ein Urbild hat oder bei Surjektivität beweisen, dass alle Werte immer im Bild von sind und immer mindestens 1 Urbild besitzen? |
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"solang ich Terme verwende kann ich ja immer sagen x=y" NEIN! Kanst Du nicht, siehe oben. "Aber wie kann ich dann anhand von Termen aussagen bzw. beweisen, dass zb. eine Funktion surjektiv oder injektiv ist" Das hast Du in Deinem ersten post doch schon getan. Ganz allgemein: Nicht wild drauf los beweisen, sondern erstmal nachdenken und eine Behauptung aufstellen. Schau Dir die Funktion erstmal an und überleg Dir, ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Ist sie es nicht, reicht ein einziges Gegenbeispiel und Du bist fertig. Falls das nicht der Fall ist, kannst Du Dir Gedanken machen wie Du es beweisen willst, dafür gibt es kein allgemeingültiges Kochrezept. Noch ein Tipp: Manchmal ist es einfacher, die Kontraposition der injektivität zu zeigen: , statt |
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Das mit meinem 1. Post war eher unbeabsichtigt. Ich habe einfach geschrieben und komischerweise war das dann auch richtig :-) Du schreibst ja, ich soll erst schauen ob eine Funktion surjektiv oder injektiv ist. Aber darum geht es mir ja... Wie soll ich das machen? Soll ich einfach Zahlen von einsetzen und schauen ob immer das gleiche passiert? Wenn ja, wie kann ich dann aber beweisen, dass das für alle gilt? Zb.: Bei Surjektivität, wie kann ich beweisen, dass sich alle Werte im Bild von befinden? Hier habe ich ein Beispiel aus meinem Skript: Sei R×R->R definiert durch für alle y)∈R×R. Dann ist nicht injektiv, denn es sind und 2)verschiedene Elemente in R×R, für die gilt. Wie müsste das gerechnet werden? Denn die Definition ist ein Produkt und die Funktion beschreibt eine Summe. Also und dann Was bedeutet Kontraposition der Injektivität? |
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"Du schreibst ja, ich soll erst schauen ob eine Funktion surjektiv oder injektiv ist. Aber darum geht es mir ja... Wie soll ich das machen?" In der Regel weiß man ja, wie eine Parabel, Exponentialfkt. oder sonsteine Fkt. aussieht. Ansonsten wird in Aufgabenstellungen oft angegeben "beweisen Sie dass blabla..." Dann musst Du Dir gar keine Gedanken mehr darum machen ob sie es ist oder nicht. Einfach mal intensiv auf die Funktion schaun, man wird da schon keine Wunder von Dir erwarten. "Wenn ja, wie kann ich dann aber beweisen, dass das für alle gilt? Zb.: Bei Surjektivität, wie kann ich beweisen, dass sich alle Werte im Bild von f befinden?" Wie gesagt, es gibt kein allgemeingültiges Kochrezept, das kommt ganz auf das jeweilige Beispiel an. "Wie müsste das gerechnet werden?" Die "Rechnung" steht doch direkt untendrunter "Denn die Definition ist ein Produkt und die Funktion beschreibt eine Summe." Das verstehe ich nicht. Das musst Du mir genauer erklären. "Was bedeutet Kontraposition der Injektivität?" Das habe ich bereits geschrieben, siehe: de.wikipedia.org/wiki/Kontraposition |
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Ich meinte damit, dass der Definitionsbereich eine Produkt also das Ergebnis einer Mutliplikation ;-) ist aber der Wertebereich also die eigentlich Funktion eine Addition ist... Ich meine es ist definiert RxR doch die Funktion lautet Ich weiss schon, dass man hier addiert hat, also und also 2 Urbilder deshalb nicht injektiv. Aber was soll ich mit dem RxR anfangen? Das irritiert mich ein wenig... Das Problem ist, dass mir die Oberstufen Mathe fehlt und ich das letzte mal vor Jahren in der Schule war, deshalb fehlt mir jetzt bei solchen Dingen teilweise die Vorstellungskraft, wenn ich dann aber die Lösung sehe ist es mir wieder klar. Selbst auf die Lösung kommen schaffe ich in der Fälle nicht... |
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Ganz allgemein sind Definitions- und Wertebereiche jeweils Mengen, also weder Additionen noch Produkte. Die Funktion in diesem Beispiel bildet von ab. Das bedeutet: Der Definitionsbereich besteht nicht aus Skalaren (einzelne reelle Zahlen), sondern aus Zahlenpaaren , man könnte auch sagen Vektoren. und beduetet: alle Zahlenpaare für die gilt: und siehe dazu auch: de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt Ich hoffe das bringt etwas Licht ins Dunkel. |
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Ahhh okay, danke das bringt sogar sehr viel Licht ins Dunkel :-) Wie ist es dann aber wenn ich im vorhinein schon 2 variablen und angegeben habe und ich dann Injektivität beweisen soll, muss ich dann aus dem Wertebereich das auch jeweils für und machen. Also ich meine damit die Definition für Injektivität ist ja ,y∈X:f(x)=f(y) daraus folgt . Müsste ich dann in diesem Beispiel sagen ,y∈X:f(x,y)=f(x,y)? |
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Die Definition der Injektivität für eine Funktion von zwei Veränderlichen lautet: f ist injektiv genau dann wenn: mit |
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Okay, das heißt ich muss ich mit 2 Zahlenpaaren rechnen wie im angegeben Beispiel einmal mit und . Ich werde das in der nächsten Zeit noch ein wenig zu Hause versuchen das zu üben und melde mich sonst noch falls ich doch was nicht verstanden haben sollte! Vielen Dank! |
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"Okay, das heißt ich muss ich mit 2 Zahlenpaaren rechnen wie im angegeben Beispiel" Genau. Viel Erfolg und Spass noch beim Üben ;-) |
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Naja ob ich Spass dran finden werde glaube ich eher nicht, stehe eigentlich schon immer mit Mathe auf dem Kriegsfuss :-) Aber danke! |
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Hallo, ich hätte noch eine Frage zum Thema Komposition von Abbildungen und wollte keinen neue Thread erstellen. Ich habe hier ein Bsp.: Zu einer reellen Zahl aus bezeichnen wir mit die Zahl falls ist, und −x, falls ist. Seien nun mit für alle aus und aus mit − 3 für alle aus N. Dann ist ° eine Abbildung von nach und sie ist definiert durch ° − 3 für alle aus Z. Weiter ist ° eine Abbildung von nach definiert durch ° f(x−3) = |x−3| für alle aus N. Für gilt etwa ° −2 und ° . Kann mir bitte jemand erklären warum ° ? Ich dachte hier muss gerechnet werden... |
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Kannst du mir erklären was du mit gemacht hast, damit du auf 2 kommst? Diese zwei vertikalen Striche bedeuten ja "Kardinalität von" oder? |
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Nein, diese zwei Striche bedeuten Nur in Zusammenhäng mit Mengen "Kardinalität". In Bezug auf Skalare, oder Vektoren ist damit der Betrag gemeint: http//de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion |
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Aha, okay danke! Sowas hätte man ja im Skript auch mal erwähnen können.... |
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Steht doch sogar in deinem Text ;-) "Zu einer reellen Zahl aus bezeichnen wir mit die Zahl falls x≥0 ist, und −x, falls ist." |
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Ach, das hätte das bedeuten sollen ;-) Für mich ist das lesen dieser Mathe Skripte immer ein Rätsel. Teilweise fang ich dann schon direkt an an mir zu zweifeln, aber was ich so mitbekommen habe geht das nicht nur mir so... |
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"Teilweise fang ich dann schon direkt an an mir zu zweifeln, aber was ich so mitbekommen habe geht das nicht nur mir so..." Da kann ich Dich beruhigen, es geht vielen so. Aber wenn man sich mal dran gewöhnt hat, gehts ;-) |
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Danke, das beruhigt mich. Was mich aber noch ein wenig beunruhigt ist die Tatsache, dass sich dieser Kurs "Grundlagen der Mathematik nennt" und ich gerade mal am Ende der 1 Kurseinheit von 5 stehe und da schon ordentlich zu beißen habe. Also bekomme ich es da schon ein wenig mit der Angst zu tun wenn ich dran denke, was da noch vor mir liegt ;-) |
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Ja, "Grundlagen der Mathematik" klingt für einen Studenten in der Tat nicht sehr ermutigend was das weitere Studium angeht, aber lass Dich davon nicht abschrecken. Auch Mathematiker kochen nur mit Wasser ;-) Bleib einfach am Ball, dann wird das schon. |
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Vor allem wenn man eigentlich Informatik studieren möchte aber erst mal 4 Semester nur Mathe vor sich hat :-) |
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