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Beweis von n-ten Wurzeln in den reellen Zahlen

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Tags: Funktion, Körper, polynom

 
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Kubrick-Fan

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17:39 Uhr, 05.05.2023

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Hallo,

wir haben den folgenden Beweis für die Existenz n-ter Wurzeln in ℝ gegeben, den ich leider nicht vollständig nachvollziehen konnte.

Sei a∈ℝ,a≥0 und n∈ℕ; dann ∃!x∈ℝ:x≥0:xn=a

Beweis:

ohne Beschränkung gilt a>0 und n≥2 (weil für n=1 ist die Behauptung trivial)

M:={y∈ℝ:y≥0,yn≤a} dann M≠∅ da 0∈M

Ferner ist M nach oben beschränkt, denn für y∈M gilt y≤1 oder 1<y<yn≤a wodurch max{1,a} eine obere Schranke von M ist. Hier schon meine Frage, ob das nötig ist, das hier so umständlich aufzuschreiben? Kann man nicht auch einfach sagen a ist obere Schranke? Es scheint mir so als wäre dieser Maximum Operator dann später auch nicht mehr relevant?

Wegen Beschränktheit und M≠∅ existiert Supremum(M):=x in [0,∞)

Wir behaupten jetzt xn=a und zeigen das:

Zuerst sei gezeigt, dass aus xn>a ein Widerspruch folgt:

Es folgt aus xn>a das x>0 weshalb direkt ein j∈ℕ existieren muss, das die Eigenschaft 1j<min{x,xn-an⋅xn-1} hat.

Hier auch meine Frage, wie man darauf kommt? Komme hier nicht mit.

Aus der Bernoulli Ungleichung erhält man dann

(x-(1j))n= x^n(1-1/(j*x))>=x^n(1-n/(jx))=x^n-n/j*x^(n-1) >x=a

und somit dann (x-1j)n≥yn;∀y∈M⇒x1j≥y;∀y∈M

Also ist x-1j obere Schranke von M wobei dann x-1j<x Widerspruch zu ⊃(M)=x

Ich verstehe, dass wir einfach eine Menge M hernehmen und mit der Eigenschaft x:=⊃(M) einen Widerspruch erzeugen, wenn xn>a gilt. Ich komme aber nicht ganz mit, wieso man auf einmal die Bernoulli UNgleichung so auspackt - ist es hier offensichtlich darauf zu kommen? Ich kann auch nicht ganz verstehen, warum das dann größer gleich a ist, woraus folgt das?

Beim Zeigen der anderen Seite, also xn<a, habe ich ebenfalls Verständnisprobleme, allerdings ist es wohl denke ich besser, darauf zurückzukommen, wenn sich jemand gefunden hat, der mir hilft und ich erst einmal diese Seite verstanden habe.

Vielen Dank im Voraus.

VG



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HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

11:53 Uhr, 06.05.2023

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Ferner ist M nach oben beschränkt, denn für y∈M gilt y≤1 oder 1<y<yn≤a wodurch max{1,a} eine obere Schranke von M ist. Hier schon meine Frage, ob das nötig ist, das hier so umständlich aufzuschreiben? Kann man nicht auch einfach sagen a ist obere Schranke? Es scheint mir so als wäre dieser Maximum Operator dann später auch nicht mehr relevant?



Nein. Wenn z.B. n = 2 und a = 0,02 ist, dann ist für y = 0,1 der Wert y2 = 0,01 < a, aber y ist in M und größer als a, also ist a keine obere Schranke von M. Die Potenzen von Zahlen y < 1 sinken, die von y > 1 steigen, daher die Aufspaltung. Da nur die Existenz einer (eigentlich beliebigen) oberen Schranke gezeigt werden soll, ist die weitere Benutzung dieser Schranke dann nicht mehr notwendig.




Es folgt aus xn>a, dass x>0, weshalb direkt ein j∈ℕ existieren muss, das die Eigenschaft 1/j<min{x,(xn-a)/(nxn-1) hat.

Hier auch meine Frage, wie man darauf kommt? Komme hier nicht mit.



Es soll bewiesen werden, dass für das Supremum x von M der Wert xn nicht größer als a sein kann. Wieso das? Für die y ∈ M ist dochimmer yn≤ a. Ja, aber ein Supremum muss gar nicht mehr zur Menge M gehören. Das Supremum von {-1/n | n∈ℕ} ist 0 und gehört auch nicht zu dieser Menge.

Dies beweist man durch Widerspruch: Wäre das Supremum x von M so, dass xn > a gilt, so gäbe es eine kleinere Zahl als x, für die ebenfalls die n-te Potenz ≥ a wäre, und diese müsste ja dann das Supremum sein (bzw. dann wieder eine noch kleinere Zahl).

Bernoulli-Ungleichung: (1+x)n≥1+nx für x ≥ -1 und n∈ℕ

Wir nehmen nun an, dass für das Supremum x gilt: xn > a.

Jetzt machen wir x ein bisschen kleiner zu x - ε, ε > 0 und ε < x, damit -ε/x > -1 ist.
Dann gilt: (x-ε)n=(x⋅(1-ε/x)n=xn(1-ε/x)n≥xn(1-n⋅ε/x)=xn-n⋅xn-1ε

also (x-ε)n≥xn-n⋅xn-1ε


Dann wählen wir ε so, dass es positiv ist, aber (x-ε)n immer noch ≥ a bleibt. Das gilt schon bei xn-n⋅xn-1ε = a.

Umgestellt nach ε gibt das ε=(xn-a)/(nxn-1). Fsbri ist ε >0, da xn>a sein soll.

Damit wird (x-ε)n≥ a, und (x-ε) wäre größer als jedes Element aus M, aber kleiner als x, und somit kann x nicht das Supremum von M sein.
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HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

00:03 Uhr, 07.05.2023

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Habe den obigen Text noch mal überarbeitet und Ungereimtheiten beseitigt.
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