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Bezierkurve-Stützpunkt eines Teilkreises berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Bezierkurve, Excel, Gerade, Schnittpunkt, Stützpunkt, Teilkreis

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20:26 Uhr, 07.04.2025

Hallo zusammen,
ich bin neu hier, kein Mathematiker, hoffe aber mit meiner Frage hier richtig zu sein.

Es geht um eine Bezierkurve 3. Grades, die einen Viertelkreis von 270 Grad bis 360 Grad darstellt, an den eine horizontale Gerade anschließt.
-> Ein Beispiel ist als Excel_1.png angefügt.

In mehreren Schritten soll die Gerade nun bis zum Kreismittelpunkt abgesenkt, und der Viertelkreis jeweils am Schnittpunkt der Geraden abgeschnitten werden.

Die Stützpunkte X2 und Y3 der Ausgangsform berechne ich mit

Radius r * (4/3) * Tan(45 Grad/2)

Zum Absenken muss ich scheinbar X4,Y4 mit den Schnittpunkt-Koordinaten der Geraden auf dem Kreisbogen belegen, und X3,Y3 dann mit diesem Punkt gleichsetzen, damit ein eckiger Übergang entsteht.
Alle anderen Punkte können unverändert bleiben, bis auf X2, der die Krümmung des restlichen Kreisbogens steuert. Aber hier liege ich leicht daneben, wie in Abbildung
-> Excel_2.png
ersichtlich, denn die Krümmung deckt sich nicht mit dem Viertelkreis.

Die Frage ist im Zusammenhang mit einer Excel-Grafik entstanden, weshalb ich versuche, das Problem ebenfalls über Excel zu lösen, auch wenn es bestimmt geeignetere Software dafür gäbe. Zur Vereinfachung lasse ich die Grafik über ein VBA-Makro zeichnen. Den entsprechenden Modul-Code habe ich nachfolgend angefügt. Die Sub CreateScene zeichnet dann alles. (VBA nutzt X1,Y1 als separaten Startpunkt, und bezeichnet die restlichen Punkte der Kurve mit X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3 wodurch sich die Bezeichner gegenüber Standard-Bezier-Bezeichnern verschieben)

Falls ich wichtige Angaben nicht genannt haben sollte, bitte ich um Nachsicht. Dann bitte mitteilen, was fehlt...

Vielen Dank schon mal!

- - - - - - - - - - - - -
'Hier der Code:

Option Explicit

' Gegebene Werte für den Viertelkreis
Private Const radius As Single = 200 ' Radius des Kreises
Private Const centerX As Single = 300 ' X-Koordinate des Kreismittelpunkts
Private Const centerY As Single = 300 ' Y-Koordinate des Kreismittelpunkts

Private ws As Worksheet
Private LineY As Single ' Vertikale Position der Geraden

Public Sub CreateScene()
Dim shp As Shape
Set ws = ThisWorkbook.Sheets(1) ' 1. Arbeitsblatt zum Zeichnen auswählen
' Alte Shapes mit Bezierkurven entfernen
For Each shp In ThisWorkbook.Sheets(1).Shapes
shp.Delete
Next
' Neue Shapes mit Bezierkurven zeichnen
For LineY = centerY - radius To centerY Step (centerY - radius) / 4
CreateQuarterCircleAndLine
If LineY = centerY - radius Then
' Erstes Shape in Orange
ws.Shapes(ws.Shapes.Count).Line.ForeColor.RGB = RGB(255, 60, 0)
End If
Next
End Sub

Private Function BerechneKontrollpunktVonLinie(ByVal radius As Double, ByVal yLinie As Double, ByVal yMitte As Double) As Double
Dim winkelRad As Double
Dim abstand As Double
Dim diffY As Double
Dim unterWurzel As Double
' Differenz zwischen yLinie und Kreismitte
diffY = yLinie - yMitte
unterWurzel = radius * radius - diffY * diffY
' Sonderfall: Falls die Linie genau am oberen oder unteren Rand des Kreises verläuft
If unterWurzel <= 0 Then
winkelRad = 1.57079632679 ' Pi/2 Radianten für 90 Grad (Grenzfall)
Else
' Winkel des Schnittpunkts berechnen
winkelRad = Atn(diffY / Sqr(unterWurzel))
End If
' Kontrollpunkt-Abstand berechnen
abstand = radius * (4 / 3) * Tan(winkelRad / 4)
' Rückgabe des berechneten Abstands
BerechneKontrollpunktVonLinie = abstand
End Function

Private Function HorizontalArcIntersectionPoints( _
ByVal circleCenterX As Double, _
ByVal circleCenterY As Double, _
ByVal circleRadius As Double, _
ByVal LineY As Double) As Variant
' Die Schnittpunkte einer horizontalen Geraden mit einem Kreis berechnen
Dim DeltaY As Double
Dim DeltaX As Double
Dim point1 As Variant
Dim point2 As Variant
' Überprüfen, ob die Linie überhaupt den Kreisbogen berührt
DeltaY = Abs(circleCenterY - LineY)
If DeltaY > circleRadius Then
' Kein Schnittpunkt, da die Linie außerhalb des Kreisbogens liegt
HorizontalArcIntersectionPoints = Null
Exit Function
End If
' Sonst X-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
DeltaX = Sqr(circleRadius ^ 2 - DeltaY ^ 2)
point1 = Array(circleCenterX - DeltaX, LineY)
point2 = Array(circleCenterX + DeltaX, LineY)
' Rückgabe beider Schnittpunkte
HorizontalArcIntersectionPoints = Array(point1, point2)
End Function

Private Sub CreateQuarterCircleAndLine()
Const PI = 3.14159265358979

Dim intersectionPointsLeft As Variant ' Punkt auf einem Kreisbogen
Dim intersectionPointsRight As Variant ' Punkt auf einem Kreisbogen
Dim X1 As Single, Y1 As Single
Dim X2 As Single, Y2 As Single
Dim X3 As Single, Y3 As Single
Dim bezierPoint As Single
Dim bezierOffset As Double
Dim abstand As Double

' Ein echter Kreis kann durch Bézier-Kurven nicht exakt dargestellt, aber gut angenähert werden.
' Für einen mathematisch perfekten Viertelkreis beträgt der ideale Abstand des Kontrollpunkts
' etwa das 0.55228-fache des Radius ((4/3) * Tan(45 Grad/2) = 0.5522847498 gerundet).
' Bei einem Radius von 18.20544 kann die Distanz d wie folgt berechnet werden:
' d = r * (4/3) * Tan(45 Grad/2)
' d = 18.20544 * 1.33333 * 0.41421
' d = 18.20544 * 0.55228
' d = 10.054
bezierPoint = radius * 0.5522847498 ' Bézier-Kontrollpunkt

abstand = BerechneKontrollpunktVonLinie(radius, LineY, centerY)

' Schnittpunkt auf Kreisbogen berechnen
intersectionPointsLeft = HorizontalArcIntersectionPoints( _
centerX, _
centerY, _
radius, _
LineY)
intersectionPointsRight = HorizontalArcIntersectionPoints( _
centerX, _
centerY, _
radius, _
LineY)
If IsNull(intersectionPointsLeft) Then Exit Sub
If IsNull(intersectionPointsRight) Then Exit Sub

' Berechnung der Kontrollpunkte und Endpunkte
X1 = centerX - radius

If LineY = centerY - radius Then
Y1 = centerY - bezierPoint
X2 = centerX - abstand
Else
bezierOffset = radius * (4 / 3) * Tan(PI / 8)
Y1 = centerY - radius + bezierOffset
X2 = intersectionPointsLeft(0)(0)
End If

Y2 = LineY
X3 = intersectionPointsLeft(0)(0)
Y3 = LineY ' Kurve endet auf Höhe von LineY

' Erstellung der FreeForm mit dem msoSegmentCurve-Segment
Dim freeForm As FreeFormBuilder
Set freeForm = ws.Shapes.BuildFreeform(msoEditingCorner, centerX - radius, centerY)
' Hinzufügen der Nodes für die Kurve
freeForm.AddNodes msoSegmentCurve, msoEditingCorner, _
X1, Y1, _
X2, Y2, _
X3, Y3

' Hinzufügen des horizontalen Liniensegments mit eckigem Übergang
freeForm.AddNodes msoSegmentLine, msoEditingCorner, centerX + radius * 2, LineY

' Konvertieren in eine Shape
Dim Shape As Shape
Set Shape = freeForm.ConvertToShape
End Sub

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

21:50 Uhr, 08.04.2025

Also wenn

r

den Kreisradius bezeichnet und

h

die Höhe des Schnittpunkts der waagerechte Linie mit dem Kreis, dann erhalte ich für den gesuchten Abstand

d

den hübschen Ausdruck

d = \frac{4}{3} \cdot \frac{h \cdot r}{r - \sqrt{r^{2} - h^{2}}} \cdot (\frac{\sqrt{2 r}}{\sqrt{r + \sqrt{r^{2} - h^{2}}}} - 1)

Für

h = r,

als den kompletten Viertelkreis, stellt sich dann damit auch in der Tat der von dir angegebene Wert

\frac{4}{3} \cdot r \cdot (\sqrt{2} - 1) \approx 0.5522847498307933984 \cdot r

ein.

Auf die Formel kommt man mit der Forderung, dass sich in der Darstellung der Bezierkurve

X (t) := (1 - t^{3}) \cdot X_{1} + 3 \cdot {(1 - t)}^{2} \cdot t \cdot X_{2} + 3 \cdot (1 - t) \cdot t^{2} \cdot X_{3} + t^{3} \cdot X_{4}

mit

t = 0.5

der Kreispunkt in der Mitte des Kreisbogens einstellen soll,

X_{1}

und

X_{4}

die Endpunkte des Kreisbogens sind und

X_{2}

und

X_{3}

Punkte auf den Kreistangenten in

X_{1}

und

X_{4}

aus Symmetriegründen im gleichen Abstand

d

von den jeweiligen Endpunkten.

Dieser Abstand ist also natürlich auf den Kreistangenten in den Endpunkten des zu nähernden Kreisbogens abzutragen (siehe Skizze).

Die Endpunkte haben im gezeigten KS die Koordinaten

(\sqrt{r^{2} - h^{2}} | h)

und

(r | 0),

die beiden Führungspunkte

(\sqrt{r^{2} - h^{2}} + d \cdot \frac{h}{r} | h - d \cdot \frac{\sqrt{r^{2} - h^{2}}}{r})

und

(r | d)

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23:44 Uhr, 09.04.2025

@Roman-22
Vielen Dank für die gute Erklärung! Es müssen also auch für Kreissegmente, die kleiner als 90 Grad sind, immer alle 8 Werte der Bezierkurve ermittelt werden. Da lag ich komplett falsch.
Hilfreich ist auch der Hinweis, dass wenn h = r, ein kompletter Viertelkreis vorliegt, da meine Prüfung dafür viel zu umständlich war. In der beschriebenen Problemstellung gilt sogar, wenn h >= r, liegt ein kompletter Viertelkreis vor.
Das hilft mir weiter!

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11:15 Uhr, 10.04.2025

Ich habe die Formel jetzt als VBA-Code umgesetzt, und erhalte für eine Stichprobe im Überwachungsfenster jetzt die richtigen gerundeten Ergebnisse:

Kontrollpunkt-Distanz wenn Radius

r = 100

und Höhe

h = 0 : = 0