Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bild einer Funktion rechnerisch bestimmen

Bild einer Funktion rechnerisch bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis

Abos1401 aktiv_icon

11:51 Uhr, 17.11.2013

Moinsn,
Ich soll das Bild einer Funktion rechnerisch bestimmen. also die Menge die

f (x)

annehmen kann. Der Definitionsbereich enthält alle reellen zahlen ausser die 1 und die 4.

Die Funktion sieht so aus:

\frac{x - 4}{- x^{2} + 5 x - 4}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Shipwater aktiv_icon

12:19 Uhr, 17.11.2013

Ich würde zunächst den Nenner faktorisieren und dann kürzen.

Abos1401 aktiv_icon

14:29 Uhr, 18.11.2013

\frac{x - 4}{(x - 4) \cdot (x - 1)} = \frac{1}{x - 1}

supporter aktiv_icon

14:34 Uhr, 18.11.2013

Du hast das Minus vergessen :

Nenner:

- [(x - 1) (x - 4)]

Abos1401 aktiv_icon

15:51 Uhr, 18.11.2013

Also

\frac{x - 4}{(- 1) \cdot (x - 4) \cdot (x - 1)} = \frac{1}{(- 1) \cdot (x - 1)} = \frac{1}{- x + 1}

Shipwater aktiv_icon

16:34 Uhr, 18.11.2013

Richtig, jetzt helfen Grenzwertbetrachtungen.

Abos1401 aktiv_icon

20:37 Uhr, 18.11.2013

Also

\frac{1}{- x + 1}

Der Nenner darf nicht 0 sein

\Rightarrow x = 1

geht nicht. Also ist die Funktion nicht für

y = 1

definiert

Bild(f) = R\

{

Shipwater aktiv_icon

20:58 Uhr, 18.11.2013

Es geht um den Bildbereich, nicht um den Definitionsbereich. Du hast die Funktion

f : ℝ \ {1,4} \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{1 - x}

und willst jetzt

f (ℝ \ {1,4})

. Du kannst auch ansetzen mit

\frac{1}{1 - x} = c

und dann überlegen wann es eine Lösung gibt. Für

c = 0

gibt es keine Lösung, weil ein Bruch mit 1 im Zähler nicht 0 werden kann. Ansonsten folgt

\frac{1}{1 - x} = c \Leftrightarrow 1 - x = \frac{1}{c} \Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{c}

. Also für jedes

c \neq 0

hast du mit

x = 1 - \frac{1}{c}

ein Urbild gefunden. Jetzt überlege dir, ob dieses

x

auch immer in

ℝ \ {1,4}

ist oder ob du entsprechend aussortieren musst.

Abos1401 aktiv_icon

21:05 Uhr, 18.11.2013

Also muss ich jetzt für

\frac{1}{- x + 1}

x = 1

und

x = 4

einsetzen ?

\Rightarrow y^{1} = 0

\Rightarrow y^{2} = - \frac{1}{3}

Shipwater aktiv_icon

21:09 Uhr, 18.11.2013

Quatsch diese

x

sind gerade ausgeschlossen. Lies dir meinen Beitrag nochmal in Ruhe durch. Ich habe gezeigt, dass 0 nicht im Bildbereich ist. Und dann noch dass

f (1 - \frac{1}{c}) = c

für jedes

c \neq 0

ist. Jetzt musst du dir überlegen ob es solche

c \neq 0

gibt so dass

1 - \frac{1}{c}

entweder gleich 1 oder gleich 4 wird. Also löse die Gleichungen

1 - \frac{1}{c} = 1

und

1 - \frac{1}{c} = 4

rundblick aktiv_icon

21:11 Uhr, 18.11.2013

"Bild einer Funktion rechnerisch bestimmen"

Shipwater wird mir hoffentlich gnädig die Einmischung verzeihen.. also:

kleine Ergänzung / Vorschlag:

1) \to

dein

f (x)

ist nicht

= \frac{- 1}{x - 1}

(nur fast überall..)

2) g (x) = \frac{- 1}{x - 1}

ist eine Hyperbel und eine nahe Verwandte zur Hyperbel

y = \frac{1}{x}

3)

dieses hoffentlich bekannte Exemplar

y = \frac{1}{x}

wird nun (zB rechnerisch) etwas
gespiegelt und dann noch leicht verschoben ..
und schon hast du den totalen Überblick zu

g (x) = \frac{- 1}{x - 1}

4)

und jetzt solltest du nur noch an einer bestimmten Stelle ein Loch in

g

machen
um dein ursprüngliches

f

zu haben..

fertig

Abos1401 aktiv_icon

21:20 Uhr, 18.11.2013

Sorry aber bin jetzt komplett verwirrt

: (

Ist die linear Faktor Zerlegung also doch nicht richtig ?
Und woher kommt genau das

c

bzw welche Bedeutung hat es ?

Shipwater aktiv_icon

10:53 Uhr, 19.11.2013

Doch ist richtig, aber du darfst nur für

x \neq 4

kürzen. Also deine Funktion ist dann

f : ℝ \ {1,4} \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{1 - x}

Also 1 und 4 werden aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Nun ist

\frac{1}{1 - x} = c \Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{c}

für

c \neq 0

und für

c = 0

kann es kein Urbild geben. Die Gleichung

1 - \frac{1}{c} = 1

hat keine Lösung, aber

1 - \frac{1}{c} = 4

führt auf

c = - \frac{1}{3}

. Also musst du

- \frac{1}{3}

auch aussortieren und dein Bildbereich ist dann

ℝ \ {0, - \frac{1}{3}}

predator12 aktiv_icon

13:17 Uhr, 16.05.2018

"Also löse die Gleichungen

1 - 1 c = 1

und 1-1c=4"

ich habe die aufgabe aus spaß mal nachgerechnet.
bei mir liefern 2 varianten für diese beiden glechungen je 2 unterschiedliche Ergebnisse, welches ist richtig?

1. Gleichung Variante 1

1 - \frac{1}{c} = 1 |

Kehrwert der ganzen Glg

1 - c = 1 \Rightarrow c = 0

1. Glg

V 2

1 - \frac{1}{c} = 1

|zuerst

c

rüber, dann

- 1

und mal

c

\Rightarrow 0 = 1

Widerspruch....

2. Glg

V . 1

1 - \frac{1}{c} = 4 |

Kehrwert der ganzen Glg

1 - c = \frac{1}{4}

c = \frac{3}{4}

2 Glg

V 2

1 - \frac{1}{c} = 4 |

erst rüberbringen dann nachj und nach auflösen

c = - \frac{1}{3}

warum ist immer Variante 2 richtig? warum darf man nicht die ganze Glg umkehren und bekommt dann nicht das gleiche heruas?

LG

ps kann mir jmd mit dem Formeleditor helfen? ich hätte angeblich kein JAVA drauf, aber ich habe definitiv Java aufm rechner und sowohl opera als auch Ff machen probleme...
Predator

Shipwater aktiv_icon

17:49 Uhr, 22.05.2018

Kehrwert von

1 - \frac{1}{c}

ist nicht

1 - c

sondern

\frac{1}{1 - \frac{1}{c}} = \frac{c}{c - 1}

. Bei einer Summe darfst du den Kehrwert nicht summandenweise bilden, das heißt

\frac{1}{a + b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

im Allgemeinen.

Gut möglich, dass Firefox den Formeleditor gar nicht mir erlaubt. Benutze lieber einen der anderen Modi.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1427768

1126763

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?