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Bildmenge/Bildbereich bestimmen

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Funktionen

Tags: Bildbereich, bildmenge, Funktion

chineseboy89 aktiv_icon

18:28 Uhr, 08.11.2016

Erstmal Hallo allerseits.

Meine Frage ist das ich nicht genau weiss, wie ich hier Mathematisch den Bildbereich dieser Funktion bestimmen kann.

f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}

Ich bin folgendermaßen vorgegangen.

1. Polstellen/Definitionslücken bestimmt

Formel umgestellt

f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

Polstelle

= - 1

2. Asymptote bestimmt

f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1} = 1 - (\frac{4}{x^{2} + 2 x + 1})

Asymptote

= 1

3.Nullstelle bestimmt

f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} \Rightarrow 1

Also

(0 | 1)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Das ist alles was ich bis jetzt habe.

Die fertige Funktion als Bild habe ich unten angehängt.

Meine Fragen sind
1. Asymptote liegt bei

1,

wieso wird sie geschnitten von dem ich sag mal linken teilgraphen ? (Mathematisch bestimmen ?)
2. Wieso nähert Sie sich von unten ? und nicht von oben? (Mathematisch bestimmen ?)
3. Wie genau bestimme ich jetzt Mathematisch die Bildmenge ich meine klar in dem Beispiel wäre es offensichtlich das ich sagen kann von 0 bis +unendlich, aber was ist wenn der Graph um einige Werte nach unten sprich versetzt wäre , es muss doch dafür eine Mathematische Vorgehensweise geben oder ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

19:20 Uhr, 08.11.2016

> 1

. Asymptote liegt bei

1,

wieso wird sie geschnitten von dem ich sag mal linken teilgraphen ?
Warum irritiert dich das? Warum sollte die Asymptote nicht von einem Kurvenast geschnitten werden?

>

(Mathematisch bestimmen ?)
Du meinst diesen Schnittpunkt mit der Asymptote

y = 1

?
Na du setzt eben

f (x) = 1

und lösz nach

x

. Sollte

x = 0

ergeben. Daher

S (0 / 1)

> 2

. Wieso nähert Sie sich von unten ? und nicht von oben? (Mathematisch bestimmen ?)
Wenn du die Asymptote einzeichnen würdest, dann könntest du sehen, dass sie sich sowohl von oben , als auch von unten nähert.
Zähler und Nenner im Funktionsterm unterscheiden sich ja nur im

\pm 2 x

. Für

x > 0

ist der Nenner (mit

+ 2 x)

größer als der Zähler - die Funktionswerte daher kleiner als 1. Für

x < 0

ist es umgekehrt.

> 3

. Wie genau bestimme ich jetzt Mathematisch die Bildmenge
Du könntest Minima und Maxima der Funktion ermitteln, allerdings unter Berücksichtigung des Verhaltens an den Polstellen (hier wären

lim_{x \to - 1^{+}} f (x)

und

lim_{x \to - 1^{-}} f (x)

zu untersuchen) und am "Rand" (hier wären

lim_{x \to - \infty} f (x)

und

lim_{x \to \infty} f (x)

zu untersuchen).

R

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