Definitionsbereich ln-Funktion

Hi, hab folgende Hammeraufgabe!!

Soll eine komplette Kurvendiskussion erstellen und kann nicht mal den Definitionsbereich bestimmen ;-(

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{{(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}^2-1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ } \end{gathered}$$

ich weiss, dass das was in der ln-Funktion größer 0 sein muss, wie ich das hier machen soll... keine Ahnung.. nicht mal ansatzweise!!

die ln-funktin ist nur für positive Werte definiert.

x darf nicht Null werden, aber x kann negaiv sein (z.B. bei x^2)

das ^2 gehört zu ln(x) nicht nur zum x

weil die Ableitung davon ist 2ln(x)*1/x

in diesem Fall darf x nicht negativ sein!

ahh... beim Bruch darf man ja nicht durch was negatives teilen, sonst erhält man ein negatives Ergebnis.

Und Null ist für ln-Funktionen nicht definiert, darum:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=[0;\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}] \\ } \end{gathered}$$

die eckigen Klammern gehören andersrum, kanns nur nicht eingeben!!

ohne Null und bis + unendlich

dann mach ich mich jetz mal an das Verhalten an den Rändern...

So, jetzt noch das Verhalten an den Rändern, und die erste Ableitung..

Oh je, bei den Nullstellen hängst schon wieder...

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{{(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}^2-1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0 \\ } \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\displaystyle {(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}^2-1\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0 \\ } \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0 \\ } \end{gathered}$$

aus dem ln(x)^2 bleibt ja beim e unterschieben ein x^2

trotzdem stimmt doch was nicht, weil dann wärs eine quadratische Gleichung und eine Nullstelle davon wäre dann negtiv!! ??

ich hab die Klammern weggelassen um mehr Übersicht zu erhalten, habs aber im Kopf.... Klar, die müssen mit rein, sonst stimmts ja nicht.

Ausgangsfunktion ist wie ganz oben eingetragen

es wird doch nicht durch Null dividiert, es geht doch gegen Null, aber nie ganz Null.

Eine unendlich große Zahl darf ich durch eine ganz kleine Zahl (z.B. 0,0000001) teilen!

ich weiss, bei der Ableitung hab ich geschludert, wird aber noch ausgebessert.. versprochen.

bei den Grenzwerten versteh ich die "unsauber" Kritik grad nicht, in der Schule machen wir das aus so mit den Pfeilen.

Wenns falsch ist bitte Info, weil dann hab ichs falsch verstanden und nur durch "Glück" richtig berechnet.

bei den Nullstellen bin ich schon soweit:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}^2-1=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ } \end{gathered}$$

wenn ich jetzt ein e unterschiebe komm ich mit dem e^x nicht mehr klar, und wenn ich das x auf die andere Seite hole und dann ein e unterschiebe um das ln wegzubringen, habe ich eine 1

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1 \\ } \end{gathered}$$

Jetzt könnte ich die rechte eins noch nach links holen, doch das bringt mir eine quadratische Gleichung die ich über die Mitternachtsformel lösen könnte..

Ich glaub aber nicht, dass ich auf dem richtigen Weg bin..

mensch he... klar x*0 =0 !!

die Nullstellen machen wir noch, dann muss ich ins Bett, hab schon fast keine Konzentration mehr!

$$\begin{gathered} {\displaystyle {(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}^2-1=0 \\ } \end{gathered}$$

e drunter:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1=1 \\ } \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2=0 \\ } \end{gathered}$$

zwei Nullstellen, eine davon ist negativ... da stimmt wieder was nicht und ich komm nicht drauf

jetzt hab ichs verstanden... hab mir schon sowas gedacht, dass mein e unterschieben und das x^2 nicht so ganz funktioniert...

das ist aber schon eine recht heftige Aufgabe...

Nullstellen hab ich dann:

x=e^-1 und x=e

Vielen Dank für deine Hilfe. Ich muss jetzt ins Bett, morgen mach ich mit dem Rest der Kurvendiskussion weiter!!

Echt nochmal vielen Dank, hat mir heut sehr viel geholfen!!

Grüsse

Matthias

Hi Ma-Ma,

hab ne kurze Zwischenfrage...

Um den Definitionsbereich zu bestimmen mache ich hier eine Fallunterscheidung. Allerdings komm ich auf ein anderes Ergebnis als vorgegeben....

Aber woran liegt das??

keine Ahnung, dachte für alle Zahlen, da durch das ^2 das Ergebnis immer positiv ist.... ??

Kannst du mir das erklären, versteh nicht ganz was du meinst..

wenn ich das nach x umstelle erhalte ich eine quadratische Gleichung, die bringt mir aber nichts

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4 \\ } \end{gathered}$$

ich könnte noch das x ausklammern, dann erhalte ich aber für x=5 und das bringt mich ja auch nicht weiter...

Oh... sorry, war nur eine kurze Zwischenfrage...

hab in der Zwischenzeit wieder an der gestrigen Aufgabe gearbeitet.

Nächster Schritt wäre Ermittlung der Stellen (exakte Terme!), an denen waagerechte Tangenten vorliegen.

Mit anderen Worten. Hochpunkt und/oder Tiefpunkt Koordinaten berechnen.

Dafür muss ich erst mal die 1.Ableitung =0 setzten..

Und schon wieder hängts...

Ok, hab ich mal gemacht..

Bist du sicher, dass das stimmt..

Wenn ich dann mit f(x) den Punkt berechne kommt ich auf (e^-1;0)

anstatt der pq-Formel kann ich doch auch die Mitternachtsformel verwenden, oder??

sieht besser aus... könnte passen!??

ja, hab ich auch...

P(11,18; 0,43)

so, jetzt:

HOP bei (11,18; 0,43)

TIP bei (0,66; -1,25)

sieht gut aus !!

Harte Nummer.... sag mal, ist das eine Aufgabe für eine 30 min Kurzprobe??

ich finds echt heftig...

ja, hab ich auch...

durch das Nullsetzten bekommt man doch den x-Wert, und wenn man den in f(x) einsetzt, bekommt man den y-Wert für die Extrempunkte

bin mir ziemlich sicher, dass das jetz so passt....

Ok, danke..

hab auch noch einen Fehler gefunden.

Beim Verhalten an den Rändern hab ich bei "gegen unendlich" in der Ableitung die Kettenregel vergessen!

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}^2-1}$

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2\cdot \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ } \end{gathered}$$

Ok, danke..

hab auch noch einen Fehler gefunden.

Beim Verhalten an den Rändern hab ich bei "gegen unendlich" in der Ableitung die Kettenregel vergessen!

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}^2-1}$

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2\cdot \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ } \end{gathered}$$

So, jetzt hab ich alles nochmal sauber zusammengeschrieben, das hat schon mehr als 30min gedauert....

Vielen Dank Ma-Ma für die tolle Unterstützung...

ja, die Grenzwerte werde ich mir nochmal genauer anschauen.

Danke & Gute Nacht!!!

Matthias