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Definitionslücke bei gebrochenrationaler Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Definitionsbereich, Definitionslücken, Funktion, Gebrochenrationale Funktion

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11:11 Uhr, 23.02.2018

Ich versuche hebbare Defintionslücken der folgenden Formel zu bestimmen:

\frac{x - 3}{(x - 2) (x - 3)} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)}

Zu erst habe ich durch die Nullstellen der Nenner die
Definitionslücken bei

x = {1,2,3}

bestimmt.
Als nächsten Schritt dann die Nullstellen der Zähler, welche bei

x = {1,3}

existieren.

Für

x = 2

erhalte Ich meiner Ansicht nach eine Polstelle, da der Nenner beider Brüche 0 wird,
der Zähler jedoch nicht.

x = 1

und

x = 3

ergeben bei nur jeweils einem der beiden Brüche der Funktion eine hebbare Definitionslücke. Nun habe ich zwei verschiedene Ansätze:

a .)

Da bei

x = 1

und

x = 3

Nullstellen des Zählers und des Nenners von einem der Brüche sind existiert dort eine hebbare Definitionslücke.

b .)

Da kein

x

Wert Nullstellen beider Zähler und Nenner beschriebt existiert keine hebbare Definitionslücke.

Mein Übungsbuch sagt mir allerdings dass es genau eine hebbare Definitionslücke geben soll.
Das passt zu keinem meiner beiden Ansätze
Wo ist mir ein Fehler unterlaufen ?
Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

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11:13 Uhr, 23.02.2018

Alternativ habe ich den Bruch bereits zu

\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x - 2) (x - 3)}

zusammengefasst, das bringt mich allerdings auch nicht wirklich weiter.

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11:25 Uhr, 23.02.2018

Eigentlich ist es vernünftiger, die Brüche zuerst zu addieren.
Sonst kannst Du in die Situation

\infty - \infty

kommen, wo man nichts sagen kann.

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11:28 Uhr, 23.02.2018

"Mein Übungsbuch sagt mir allerdings dass es genau eine hebbare Definitionslücke geben soll."

Da ist halt ein Fehler in Deinem Buch.

x = 3

ist nicht hebbar, die anderen schon.

Respon

11:28 Uhr, 23.02.2018

Bringe auf gemeinsamen Nenner.

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11:28 Uhr, 23.02.2018

Die Lücken, die man in beiden Summanden gleichzeitig rauskürzen kann, sind hebbar.
Hier kannst du nur

(x - 1)

kürzen.

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11:40 Uhr, 23.02.2018

Wenn ich

(x - 1)

aus dem letzteren der beiden Brüche rauskürze dann kann ich die beiden Brüche zu

\frac{(x - 3) + (x - 1)}{(x - 2) (x - 3)}

zusammenfassen, dann hab ich die hebbare Definitionslücke bei

x = 2

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11:49 Uhr, 23.02.2018

Nein, die hebbare Lücke ist

x = 1

(x - 2)

kannst du nicht rauskürzen.

Respon

11:51 Uhr, 23.02.2018

Gemeinsamer Nenner ( falls ich mich nicht verrechnet habe ).

\frac{x - 3}{(x - 2) \cdot (x - 3)} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)} = \frac{2 \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)}{(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)}

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11:59 Uhr, 23.02.2018

@supporter @Respon

Wieso kann ich aus dem hinteren Bruch

\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)}

nicht

(x - 1)

kürzen ?
Nach der Operation könnte man beide Brüche ja dann wegen dem gemeinsamen Nenner

(x - 2) (x - 3)

\frac{(x - 3) + (x - 1)}{(x - 2) (x - 3)}

zusammenfassen.

EDIT:

Ich fasse mal meine Denkschritte zusammen, vielleicht gibt es ja einen logischen Fehler.

1. Ich kürze

(x - 1)

aus dem hinteren Bruch, fasse beide Brüche wegen gemeinsamen Teiler zusammen.
2. Zähler als

g (x)

und Nenner als

h (x)

betrachten, Nullstellen von

g (x)

und

h (x)

bestimmen.
3. Prüfe: Falls

g (x)

und

h (x)

eine gemeinsame Nullstelle haben existiert bei

x

eine hebbare Definitionslücke, falls nicht existiert an der/den Nullstelle(n) von

h (x)

eine oder mehrere Polstellen.
4. Es existiert bei

g (2)

und

h (2)

eine Nullstelle, also existiert bei

f (2)

eine hebbare Definitionslücke.

pleindespoir aktiv_icon

12:11 Uhr, 23.02.2018

\frac{(x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} + \frac{(x - 1)^{2}}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)}

\frac{(x - 3) (x - 1)}{(x - 2) (x - 3) (x - 1)} + \frac{(x - 1)^{2}}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)}

\frac{(x - 3) (x - 1) + (x - 1)^{2}}{(x - 2) (x - 3) (x - 1)}

\frac{((x - 3) + (x - 1)) \cdot (x - 1)}{(x - 2) (x - 3) \cdot (x - 1)}

\frac{((x - 3) + (x - 1))}{(x - 2) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1)}{(x - 1)}

thraizz aktiv_icon

12:21 Uhr, 23.02.2018

@pleindespoir

Ich find es unsinnig

(x - 1)

zu ergänzen,
wenn man es doch auch einfach durch kürzen loswerden kann.
Deine Rechnung bestätigt aber mein Ergebnis,

x = 2

ist bei dir
ebenfalls eine hebbare Definitionslücke.

pleindespoir aktiv_icon

12:28 Uhr, 23.02.2018

ich habe nicht "ergänzt", sondern den linken Bruch so erweitert, dass ein gemeinsamer Nenner entsteht.

Anschließend kleinschrittig dargestellt, wie der Faktor so isoliert werden kann, damit er kürzbar wird.

"unsinnig" findest Du das nur, weil du den Sinn dahinter nicht verstehst.

"einfach rauskürzen" geht ja in Summen nur für die Dummen, wie man gelegentlich hört ...

thraizz aktiv_icon

12:45 Uhr, 23.02.2018

Oh mist. Hast natürlich Recht - Ich war so darauf fixiert irgendwie das

(x - 1)

aus dem Term zu bekommen damit meine "Idee" aufgeht, dass ich ganz vergessen habe den Term als ganzen zu betrachten. Ist ja letztendlich nur eine Summe aus zwei Brüchen.
Dann danke Ich dir für die Antwort und werd mir die von dir angewandten Schritte hinter die Ohren schreiben.

DrBoogie aktiv_icon

13:03 Uhr, 23.02.2018

Trotzdem ist die Vorgehensweise mit kürzen von

x - 1

in dem rechten Bruch absolut korrekt. Das folgt daraus, dass der linke Bruch im Punkt

x = 1

keine kritische Stelle hat. Oder, wenn man ganz genau sein muss, es ist leicht zu zeigen, dass beide Brüche im Punkt

1

einen endlichen Grenzwert haben.

Ich habe selber den Weg mit "zuerst Brüche addieren" vorgeschlagen, aber nur weil die Argumentation damit einfacher wird, nicht weil es der einzige mögliche Weg ist.

thraizz aktiv_icon

13:25 Uhr, 23.02.2018

Also dürfte Ich bei

(\frac{x}{y}) + \frac{(x - 1) (y - 1)}{(x - 1) (y)}

das

(x - 1)

kürzen, weil sich die Regel nur auf Brüche und nicht gesamte Terme bezieht ?

DrBoogie aktiv_icon

13:26 Uhr, 23.02.2018

Welche Regel? :-O

Du darfst alles machen, was Du auch begründen kannst. ;-)

pleindespoir aktiv_icon

18:53 Uhr, 23.02.2018

"zuerst Brüche addieren"

ist grundsätzlich zweckmäßig, weil die Funktion (bei den meisten Aufgabenstellungen dieser Art) noch auf diverse weitere Eigenschaften zu untersuchen ist.

Wenn das dann auch schön nachvollziehbar für den Korrigierenden ist, gibts manchmal auch Punkte für den Lösungsweg.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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