Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Differenzierbarkeit

schalkeboy aktiv_icon

01:51 Uhr, 25.02.2016

Ich soll bei folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit überprüfen und gegebenfalls die Ableitung berechnen.

a) f (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

b) f (x, y, z) = x \cdot ln (z^{2} + e^{y} + 1)

Also ich hab keine Ahnung wie ich diese Funktionen auf Differenzierbarkeit überprüfen kann.
ich kenne folgende Bedingung für Diffbarkeit:

lim_{| | h | \mapsto 0} | \frac{f (a + h) - f (a) - f' (a) \cdot (h)}{| | h | |} | = 0

muss ich das hier anwenden?
falls ja, wie soll das mit einer reihe funktionieren?

mit ableitung soll ich ganz gewöhnlich ableiten? also bei

b

der

\nabla f

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

07:32 Uhr, 25.02.2016

"muss ich das hier anwenden?"

Nein.
Für die Reihe musst Du den Satz 1.14 von hier
www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.020/Stoffers/Analysis_2/skript_ana2.pdf
oder eine Modifikation davon nutzen.

DrBoogie aktiv_icon

08:38 Uhr, 25.02.2016

In b) kannst Du einfach nutzen, dass eine Komposition von diff-baren Funktionen ebenfalls diff-bar ist (dazu gibt's auch einen Satz).

schalkeboy aktiv_icon

13:08 Uhr, 25.02.2016

Alles klar.

Wie leite ich die reihe ab? Einfach das innere ableiten? Bei

b)

einfach den

\nabla

bilden oder?

DrBoogie aktiv_icon

13:13 Uhr, 25.02.2016

"Wie leite ich die reihe ab?"

Was ist Dir dann klar, wenn Du das fragst? :-O
Hast Du den Satz gelesen?

"Einfach den

\nabla

bilden oder?"

Was ist

\nabla

schalkeboy aktiv_icon

13:51 Uhr, 25.02.2016

bei

b)

mein ich einfach den gradientt

f

. müsste so passen oder?

zu

a)

Den Satz hab ich gelesen, jedoch nicht ganz verstanden.

"...Gibt es ein

x 0

∈

[a, b]

so, dass die mit der Folge (fn(x0))n∈N ⊂

R

assoziierte
Reihe konvergiert..."

was meint man mit der Folge (fn(x0))?

meint man in unserem fall einfach

f_{k} (x) = \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

und was hat eigtl die reihe mit mehrdimensionalen zu tun?

DrBoogie aktiv_icon

14:00 Uhr, 25.02.2016

"meint man in unserem fall einfach"

Ja.

Gradient muss man in b) nicht bilden, meines Erachtens. Nur sagen, dass die Funktion diff-bar als Kombination von diff-baren Funktionen. Und eventuell noch, dass sie überall definiert ist.

schalkeboy aktiv_icon

14:11 Uhr, 25.02.2016

Na dann:

f (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

f_{k} (x) = \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

konvergiert gegen 0 (für

k \to \infty)

f' (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 x}{k \cdot k!}

f_{k}' (x) = \frac{2 x}{k \cdot k!}

diese ist eine stetig differenzierbare Funktion. Somit ist auch

f (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

(stetig) differenzierbar.

pass das so?
aber muss nicht nach dem Satz noch zeigen, dass

f' (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 x}{k \cdot k!}

gegen

f (x)

konvergiert?

DrBoogie aktiv_icon

14:35 Uhr, 25.02.2016

"pass das so?"

Nein. Du musst zeigen, dass gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Steht im Satz.

schalkeboy aktiv_icon

15:01 Uhr, 25.02.2016

Zu zeigen ist:

f' (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 x}{k \cdot k!}

konvergiert gleichmäßig.

| \frac{2 x}{k \cdot k!} | \leq \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

falls

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

kovergiert, so würde

f' (x)

gleichmäßig konvergieren.

Dazu nehm ich Quotientenkriterium:

lim_{k \to \infty} | \frac{x^{2}}{(k + 1) \cdot (k + 1)!} \cdot \frac{k \cdot k!}{x^{2}} | = 0 < 1

\Rightarrow f' (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 x}{k \cdot k!}

konvergiert gleichmäßig

\Rightarrow f (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

ist differenzierbar.

passt es so?

DrBoogie aktiv_icon

15:06 Uhr, 25.02.2016

"falls

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x 2}{k \cdot k!}

kovergiert, so würde

f' (x)

gleichmäßig konvergieren."

Wieso das denn? Nein, so kann man nichts zeigen.
Für gleichmäßige Konvergenz brauchst Du eine konvergente Majorante, die von

x

unabhängig ist. Das geht nur für alle

x

, aber das brauchst Du auch nicht. Zeigen, dass für alle

x

aus einem fixierten Intervall

[- n, n]

so eine Majorante existiert.

schalkeboy aktiv_icon

15:18 Uhr, 25.02.2016

"Wieso das denn?"

Das sagt uns doch Weierstrass.

\sum_{k = 0}^{\infty} f_{k} (z)

| f_{k} (z) | \leq γ_{k}

und

\sum_{k = 0}^{\infty} γ_{k} < \infty

\Rightarrow \sum_{k = 0}^{\infty} f_{k} (z)

gleichmäßig konvergent.

und mit dem Satz habe ich oben gezeigt das

f' (x)

gleichmäßig kovergiert.

folgt wirklich mit der gleichmäßigen konvergenz von

f' (x)

die differenzierbarkeit von

f (x)

?
hab ich das richtig verstanden?

DrBoogie aktiv_icon

15:28 Uhr, 25.02.2016

"folgt wirklich mit der gleichmäßigen konvergenz von f′(x) die differenzierbarkeit von f(x)?"

Nicht die Konvergenz von

f^{ʹ}

, sondern die Konvergenz von

\sum_{n} f_{n}^{ʹ}

.

Wenn

\sum_{n} f_{n}^{ʹ}

gleichmäßig konvergent auf einem Intervall ist (was auch bedeutet, dass alle

f_{n}

diff-bar sein müssen) und

\sum_{n} f_{n}

einfach konvergent, dass ist die Reihe

\sum_{n} f_{n}

diff-bar mit

(\sum_{n} f_{n})^{ʹ} = \sum_{n} f_{n}^{ʹ}

.

Und im Weierstrass sind

γ_{k}

unabhängig von

x

, bei Dir aber nicht.

schalkeboy aktiv_icon

15:40 Uhr, 25.02.2016

Alles klar.

Aber was wäre eine konvergente Majorante zu

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 x}{k \cdot k!}

die von

x

unabhängig ist?

vielleicht

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot (k + 1)} = 1

DrBoogie aktiv_icon

15:42 Uhr, 25.02.2016

\sum_{k} \frac{2 n}{k \cdot k!}

auf

[- n, n]

. Woraus Diff-barkeit auf

[- n, n]

folgen würde. Da

n

beliebig gewählt werden kann, folgt die Diff-barkeit überall.

schalkeboy aktiv_icon

15:50 Uhr, 25.02.2016

alles klar nochmal zusammenfassend:

Wir wollten die differenzierbarkeit von

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

untersuchen.

dazu haben wir eine konvergente Majorante unabhängig von

x

: \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{x^{2}}{k \cdot k!})}^{'} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 x}{k \cdot k!}

gefunden.

Die konvergente Majorante ist differenzierbar auf

[- n, n]

.
Somit folgt , dass

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{k \cdot k!}

differenzierbar ist.

so war der ablauf oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:59 Uhr, 25.02.2016

"dazu haben wir eine konvergente Majorante unabhängig von

x

"

Was Du danach schreibst, hat nichts mit einer Majorante zu tun.
Bzw. Du formulierst es nicht klar genug.
Auf jeden Fall musst Du die Majorante hinschreiben.

schalkeboy aktiv_icon

16:04 Uhr, 25.02.2016

ich meine die Majorante unabhängig von