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Differenzieren unter dem Integral
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 15:41 Uhr, 28.04.2004  |
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Hallo! Bräuchte dringend eure Hilfe! Es sei a > 0. Beweise mittels Differenzieren unter dem Integral, ausgehend von der Gleichung ,dassfür alle k in IN Kathi |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) | |
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anonymous 22:58 Uhr, 28.04.2004 |
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Hallo Kathi, Ich glaube, Du meinst Partielle Integration, allerdings gibt es in der Tat Methoden der Integration, in denen man geschickt nach einer zweiten Variablen Differenziert. Aber es passt einfach sehr gut, wenn Du Partielle Integration meinst, und deshalb beschreibe ich, wie das hier geht: Die Wunderformel zur Partiellen Integration lautet: (Eine Folge aus der Kettenregel beim Differentieren). Der groesste Trick bei der Partiellen Integration besteht darin, die Funktionen f und g (bzw. f’ und g) so zu waehlen, dass auf der Linken Seite etwas gescheites herauskommt. Die Wahl von f’ muss so getroffen werden, dass wir f’ integrieren koennen (wir brauchen f), und g waehlen wir so, dass sich das linke Integral durch g’ vereinfacht. Schielt man in diesem Falle schon auf die Loesung, so sieht man, dass dort 1/(a+1) und k! auftauchen. Das riecht dann schwer danach, dass x^a integriert und (log x)^k abgeleitet wurde. Deshalb waehlen wir mal: f’=x^a und g = (log x)^k Mit f = 1/(a+1) x^(a+1) und g’ = k/x*(log x)^(k-1) (Kettenregel) erhalten wirAuswertung des ersten Teils: Setzen wir 1 in den Ausdruck ein, so erhalten wir 0. Setzen wir 0 in den Ausdruck ein, so erhalten wir zunaechst das Problem, dass 0 fuer log x nicht definiert ist (und gegen –unendlich geht). Mit Hilfe von l’Hospital finden wir jedoch, dass auch dieser Wert gegen 0 geht, wenn x gegen 0 strebt (ist Dir das bekannt?). Der erste Teil faellt also komplett weg! Das Integeral sieht aber nun sehr bekannt aus, und kann auf gleichem Wege durch Partielle Integration vereinfacht werden. Das Ergebnis ist dann ein weiteres Minuszeichen, ein 1/(a+1), diesmal ein (k-1) und ein weiter vereinfachtes Integral:Usw., bis man keinen Logarithmus mehr im Integral stehen hat, also insgesamt k-mal. Und mit dem angegebenen Tip ueber das letzte Integral (welches ja irgendwie das kleinste Problem bei dieser Aufgabe ist) erhaelten wir das erforderte Ergebnis! QED Der Beweis ist denke ich ok, jedoch an einer Stelle nicht sehr elegant: bei dem “..." bzw. "usw”. Viel Schoener ist es an einer solchen Stelle, per Induktion (ueber k) zu argumentieren, was hier auch ganz einfach geht. Die Ausformulierung ueberlasse ich aber Dir. Ich wollte Dir allerdings nicht direkt den Induktionsbeweis schreiben, da ich denke, dass der oben beschriebene Weg dem “natuerlichen Gedankengang” eher entspricht, und solch ein Beweis spaeter natuerlich immernoch verschoenert werden kann (und sollte). Lass mich wissen, ob Du hiermit klarkommst und ob Du tatsaechlich Partielle Integration meintest! Gruss, Ben. |
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Vielen Dank für deine Hilfe! Du weißt ja gar nicht wie sehr du mir geholfen hast! lg Kathi |
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Gern geschehen... Liebe Grüße, Ben |
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