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Dirac Delta Funktion

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Tags: Funktion

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22:10 Uhr, 03.06.2012

Hallo zusammen,

Ich habe zwei Fragen zu der so genannten diracschen Delta-Funktion, die wie folgt definiert ist:

δ (x) = \infty

für

x = 0

und

δ (x) = 0

für

x \neq 0

sowie

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1

Meine Fragen:

- Warum handelt es sich hierbei gar nicht um eine Funktion? Das wird immer ohne weitere Erklärung erwähnt. Ich bin selber nicht drauf gekommen. Intuitiv hätte ich gesagt, müsste das Integral wohl einfach Null sein - wahrscheinlich geht diese Erklärung schon Richtung Masstheorie..
- Und zweitens hab ich dies hier dazu gelesen: "Die Integration über eine

δ

-Funktion liefert

1,

Integration über eine \delta-Funktion multipliziert mit einer Funktion

f (x)

liefert den Funktionswert

f (0)

von

f

an der Stelle 0."
Was ist hiermit gemeint? Ich glaube, dies beschreibt die äquivalente Definition der
\delta-Funktion mit

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) f (x) d x = f (0),

aber warum dieses Integral

f (0)

gibt weiss ich genau nicht...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

smoka

23:15 Uhr, 03.06.2012

Hallo,

die 'Definition' die Du angegeben hast ist so mathematisch nicht korrekt. Eine Funktion ist eine Abbildung zwischen Mengen. Die Delta-Distribution wird dieser Anforderung nicht gerecht. Es macht streng mathematisch keinen Sinn

δ (x)

alleine zu stellen.
Die Defintionsgleichung ist:

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - x_{0}) d x = f (x_{0})

In Worten: Das Integral einer Funktion über die Delta-Distribution gibt also den Wert der Funktion an der Nullstelle des Arguments wieder.
Mit

f (x) = 1

ergibt sich dann auch der Spezialfall:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1

bzw. mit

x_{0} = 0

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x) d x = f (0)

Man kann sich die Delta-Distribution als eine Art Verallgemeinerung des Kronecker Deltas vorstellen. Benötigt wird das z.B. in der Physik. Hier ein Beispiel:
Die Masse einer kontinuierlichen Massendichte

ϱ (\vec{r})

wird beschrieben durch:

M = \int d^{3} r ϱ (\vec{r})

Befindet sich nun ein Massenpunkt der Masse

m

im Ursprung des Koordinatensystems eines ansonsten leeren Raumes kann man sich der Delta-Distr. bedienen um das Volumenintegral zu beschreiben:
Die Massendichte ist dann:

ϱ (\vec{r}) = m δ (\vec{r})

und die Gesamtmasse:

M = \int d^{3} r ϱ (\vec{r}) = \int d^{3} r m δ (\vec{r}) = m

Gruß,

smoka

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23:31 Uhr, 03.06.2012

Ok. Vielen Dank.
Inwiefern gilt aber, dass

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x) d x = f (0)

?
Also wenn ich als

f (x)

x^{2}

einsetze? Das sehe ich noch nicht ganz.

Dann habe ich noch eine weitere Funktion: Warum ist die Stammfunktion der Delta-Funktion die Heaviside-Funktion? Wie kann man das zeigen?

Vielen Dank für die Mühe,

M

smoka

23:39 Uhr, 03.06.2012

Das ist die Definitionsgleichung:

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - x_{0}) d x = f (x_{0})

Setze jetzt

x_{0} = 0

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - 0) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x) d x = f (0)

Jetzt setze

f (x) = x^{2}

- Was kommt dann raus?

Wie man zeigt, dass die Ableitung der Heaviside-Fkt. die delta-Distr. kann ich gerade nicht aus dem Ärmel schütteln. Das wirst Du aber sicher im Internet finden.

Gruß,

smoka

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23:58 Uhr, 03.06.2012

Klar, besten Dank.
Ich hab noch eine letze Frage:

Hier wird irgendein System angeschaut, dass verschiedene Impulse zu verschiedenen Zeitpunkten emittiert. Die Impulse sind dabei mit "f" indexiert.

Nun steht bei mir im Skript, dass man die Folge der Impulse so beschreiben kann:

S_{i} (t) = \sum_{f} δ (t - t_{i}^{f})

"i" ist dabei der Index eines jeweiligen Systems.

Wie kann ich diese Reihe verstehen? Über

\infty

kann man ja nicht summieren?!
Und so weit ich sehe gibt jeder dieser Summen einfach genau einmal einen Wert ungleich Null, und zwar logischerweise wenn

t =

t_(i)^(f)...ich verstehe den Sinn irgendwie nicht ganz

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23:38 Uhr, 04.06.2012

... ... .

hagman aktiv_icon

17:28 Uhr, 05.06.2012

Zumindest gilt für eine beleibige Testfunktion

φ :

\int φ (t) S_{i} (t) d t = \int φ (t) \sum_{f δ} (t - t_{i}^{f}) d t

= \int \sum_{f φ} (t) δ (t - t_{i}^{f}) d t

= \sum_{f} \int φ (t) δ (t - t_{i}^{f}) d t

= \sum_{f} φ (t_{i}^{f})

Miausch aktiv_icon

18:03 Uhr, 05.06.2012

Giiiarrggg ich versteh gar nix mehr weil mir jeder was anderes erzählt.

So, genug Selbstmitleid.
Danke erstmals lieber Hagman!
So weit ich das verstehe, entspricht ja das was du schreibst eben der Definition der Dirac

Δ

Distribution.

Nun aber zwei Probleme (wenn ihr keine Ahnung habt auch egal):

- In dem Kontext in dem ichs antreffe, gibts gar keine Testfunktion, siehe Formel

(1.6) :

icwww.epfl.ch~gerstner/SPNM/node5.html
und weiter unten Figure

1.7

- Zweitens, wenns die Summe über \phi(t_(i)^f)ist, sieht es für mich danach aus, dass jedes

t_{i}^{f}

einen Wert ungleich Null ergeben kann und das dann aufsummiert wird.
Soweit ichs verstehe geht es aber darum, die Folge der Impulse, die das System abgibt darzustellen...

Macht das Sinn?

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