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Doppelintegral - Kreisring

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Integration

Tags: Doppelintegral, Integration, Kreisring

evilcrazy aktiv_icon

21:38 Uhr, 03.07.2011

Hi!

Wieder mal hab ich ein kleines Problem mit einem Bereichsintegral. Beispiel lautet wie folgt:

Berechnen Sie:

\int_{}^{} \int_{B}^{} ∣ y ∣ * (x^{2} + y^{2}) d x d y

wobei

B \subseteq ℝ^{2}

der Kreisring

B = (x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 3

ist.

Ich weiß leider nicht wie ich nun die Grenzen bestimm. Hab mir schon eine Skizze angelegt, aber ich weiß nicht was ich nun als Grenzen für die beiden Integrale nehmen soll.

Danke für eure Hilfe im Voraus!

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)

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Yokozuna aktiv_icon

23:06 Uhr, 03.07.2011

Hallo,

das geht eigentlich vernünftig nur mit Polarkoordinaten:

x = r \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ)

Daraus folgt

x^{2} + y^{2} = r^{2}

.
Weiter muß man das Flächenelement

d x \cdot d y

für kartesische Koordinaten durch das Flächenelement für Polarkoordinaten

r \cdot d φ

*dr ersetzen.
Der Radius

r

läuft von 1 bis 3 und

φ

läuft von 0 bis

2 π

. Damit erhalten wir:

\int \int_{B} | y | \cdot (x^{2} + y^{2}) \cdot d x \cdot d y = \int_{1}^{3} \int_{0}^{2 π} | r \cdot sin (φ) | \cdot r^{2} \cdot r \cdot d φ

*dr

= \int_{1}^{3} \int_{0}^{2 π} r^{4} \cdot | sin (φ) | \cdot d φ

*dr
Für

0 \leq φ \leq π

ist

| sin (φ) | = sin (φ)

und für

π \leq φ \leq 2 π

ist

| sin (φ) | = - sin (φ)

.
Daher muß man das Integral über

φ

in zwei Teile aufspalten, um den Betrag aufzulösen:

\int_{0}^{2 π} | sin (φ) | \cdot d φ = \int_{0}^{π} sin (φ) \cdot d φ + \int_{π}^{2 π} (- sin (φ)) \cdot d φ = \int_{0}^{π} sin (φ) \cdot d φ - \int_{π}^{2 π} sin (φ) \cdot d φ

Viele Grüße
Yokozuna

fisher18 aktiv_icon

23:57 Uhr, 03.07.2011

Bei solchen "kreisförmigen Gebilden" solltest du immer an Koordinatentransformation denken, weil kartetsische Koordinaten hier schnell "unhandlich" werden. Mache dich also für den Anfang mit Polar-, Zylinder-, Kugelkoordinaten, Funktionaldeterminanten und Koordinatentransformation vertraut.

Grüße
fisher

evilcrazy aktiv_icon

10:39 Uhr, 04.07.2011

Ah habs verstanden, danke!

Nur noch ne kleine Frage wegen dem Integral vom Sinus. Was passiert da mit dem

r^{4}

wenn man den Betrag vom Sinus aufteilt? Muss ich das dann als konstanten Multiplikationsfaktor mitschleppen? Also quasi den Sinus integrieren (kommt bei mir 4 raus) und das dann mit

r^{4}

mutliplizieren (=

4 r^{4}

)? Stimmt das so?

Lg

Yokozuna aktiv_icon

10:56 Uhr, 04.07.2011

Ja, das ist richtig so.

Viele Grüße
Yokozuna

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