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Flächeninhalt eines Kreisrings

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
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Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte

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Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

Gegeben:

r_{i}

(Radius Innenkreis),

r_{a}

(Radius Außenkreis)
Gesucht: A (Flächeninhalt Kreisring)

Beispiel

r_{i} = 1

r_{a} = \sqrt{2}

\Rightarrow A_{i} = π \cdot r_{i}^{2} = π \cdot 1^{2} = π \approx 3,14 c m^{2}

(Flächeninhalt Innenkreis)

\Rightarrow A_{a} = π \cdot r_{a}^{2} = π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} = π \cdot 2 \approx 6,28 c m^{2}

(Flächeninhalt Außenkreis)

Differenz aus den beiden Flächen ergibt Fläche des Kreisringes:

\Rightarrow A = A_{a} - A_{i} = 2 \cdot π - π = π \approx 3,14 c m^{2}

Berechnung kann auch direkt über Formel erfolgen:

\Rightarrow A = π \cdot (r_{a}^{2} - r_{i}^{2}) = π \cdot ({(\sqrt{2})}^{2} - 1) = π \cdot (2 - 1) = π \approx 3,14 c m^{2}

Gegeben: Formel für Flächeninhalt Kreisring:

A = π \cdot (r_{a} + r_{i}) \cdot (r_{a} - r_{i})

Gesucht: Herleitung der Formel

Erklärung

Der Flächeninhalt des Kreisringes ist gleich der Differenz aus Flächeninhalt Außenkreis und Flächeninhalt Innekreis:

A_{a} = π \cdot r_{a}^{2}

A_{i} = π \cdot r_{i}^{2}

\Rightarrow A = A_{a} - A_{i} = π \cdot r_{a}^{2} - π \cdot r_{1}^{2} = π \cdot (r_{a}^{2} - r_{i}^{2})

Dritte Binomische Formel anwenden:

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

\Rightarrow A = π \cdot (r_{a} + r_{i}) \cdot (r_{a} - r_{i})

Gegeben:

r_{i}

(Radius Innenkreis),

r_{a}

(Radius Außenkreis)
Gesucht: Radius

r_{K}

des Kreises mit selben Flächeninhalt wie Kreisring

Beispiel

r_{i} = 1

r_{a} = \sqrt{3}

\Rightarrow A = π \cdot (r_{a}^{2} - r_{i}^{2}) = π \cdot ({(\sqrt{3})}^{2} - 1) = π \cdot (3 - 1) = π \cdot 2 \approx 6,28 c m^{2}

Aus der Bedingung

A_{K r e i s} = A

kann der Radius

r_{K}

bestimmt werden:

A_{K r e i s} = π \cdot r_{K}^{2}

A = π \cdot 2

\Rightarrow π \cdot r_{K}^{2} = π \cdot 2

\Rightarrow r_{K} = \sqrt{\frac{2 \cdot π}{π}} = \sqrt{2}

\Rightarrow

Ein Kreis mit Radius

\sqrt{2}

cm hat denselben Flächeninhalt wie ein Kreisring der durch die Kreise mit Radius

r_{i} = 1

cm und

r_{a} = \sqrt{3}

cm begrenzt wird!

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