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Elementare Kreisteile

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Kreissegments und eines Kreissektors?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gegeben: A (Flächeninhalt Kreisausschnitt), $r$ (Radius)
Gesucht: $b$ (Kreisbogen), $α$ (Mittelpunktswinkel)

Beispiel

Gegeben: $A = 20 c m^{2}, r = 4 c m$

Formel für den Kreisausschnitt nach $b$ umstellen:

$A = \frac{r \cdot b}{2} \Rightarrow b = \frac{2 \cdot A}{r}$

$\Rightarrow b = \frac{2 \cdot 20}{4} = 10 c m$

Formel für den Kreisbogen nach $α$ umstellen:

$b = \frac{π \cdot r \cdot α}{180^{\circ}} \Rightarrow α = \frac{b \cdot 180^{\circ}}{π \cdot r}$

$\Rightarrow b = \frac{10 \cdot 180}{π \cdot 4} \approx {143,24}^{\circ}$

Gegeben: $r$ (Radius) und $h$ (Höhe Segment) oder $h$ und $s$ (Kreissehne) oder $s$ und $r$
Gesucht: A (Flächeninhalt Kreissegment)

Beispiel

Gegeben: $r = 4 c m, h = 2 c m$

Der Flächeninhalt des Kreissegments ist die Fläche des Kreissektors minus die Fläche des Dreiecks das die Kreissehne mit dem Kreismittelpunkt bildet.

Aus der Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments

$A = \frac{π \cdot r^{2} \cdot α}{360^{\circ}} - \frac{s \cdot (r - h)}{2}$

ist ersichtlich, dass man zwei unbekannte Variablen bestimmen muss: $s$ (Kreissehene) und $α$ (Mittelpunktswinkel)

Für die Kreissehne benutzt man den Satz des Pythagoras auf das Dreieck MAB $(M$ ist Kreismittelpunkt, A Mittelpunkt der Kreissehne, $B$ Endpunkt des Kreisbogens).

Es gilt:

$M B^{2} = A B^{2} + M A^{2} \Leftrightarrow r^{2} = {(\frac{s}{2})}^{2} + {(r - h)}^{2}$

Nach $s$ auflösen:

$\Rightarrow s = \sqrt{4 \cdot (r^{2} - {(r - h)}^{2})}$

$\Rightarrow s = \sqrt{4 \cdot (4^{2} - {(4 - 2)}^{2})} = \sqrt{48} \approx 6,93 c m$

Der Mittelpunktswinkel wird über die Winkelfunktion $sin (\frac{α}{2}) = \frac{s}{2 r}$ ermittelt:

$\Rightarrow sin (\frac{α}{2}) = \frac{6,93}{2 \cdot 4} \approx 0,87$

$\Rightarrow \frac{α}{2} = {60,03}^{\circ}$

$\Rightarrow α = {120,06}^{\circ}$

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