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Elementare Kreisteile

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Kreissegments und eines Kreissektors?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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π

und was bringt sie mir?

Gegeben: A (Flächeninhalt Kreisausschnitt),

r

(Radius)
Gesucht:

b

(Kreisbogen),

α

(Mittelpunktswinkel)

Beispiel

Gegeben:

A = 20 c m^{2}, r = 4 c m

Formel für den Kreisausschnitt nach

b

umstellen:

A = \frac{r \cdot b}{2} \Rightarrow b = \frac{2 \cdot A}{r}

\Rightarrow b = \frac{2 \cdot 20}{4} = 10 c m

Formel für den Kreisbogen nach

α

umstellen:

b = \frac{π \cdot r \cdot α}{180^{\circ}} \Rightarrow α = \frac{b \cdot 180^{\circ}}{π \cdot r}

\Rightarrow b = \frac{10 \cdot 180}{π \cdot 4} \approx {143,24}^{\circ}

Gegeben:

r

(Radius) und

h

(Höhe Segment) oder

h

und

s

(Kreissehne) oder

s

und

r

Gesucht: A (Flächeninhalt Kreissegment)

Beispiel

Gegeben:

r = 4 c m, h = 2 c m

Der Flächeninhalt des Kreissegments ist die Fläche des Kreissektors minus die Fläche des Dreiecks das die Kreissehne mit dem Kreismittelpunkt bildet.

Aus der Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments

A = \frac{π \cdot r^{2} \cdot α}{360^{\circ}} - \frac{s \cdot (r - h)}{2}

ist ersichtlich, dass man zwei unbekannte Variablen bestimmen muss:

s

(Kreissehene) und

α

(Mittelpunktswinkel)

Für die Kreissehne benutzt man den Satz des Pythagoras auf das Dreieck MAB

(M

ist Kreismittelpunkt, A Mittelpunkt der Kreissehne,

B

Endpunkt des Kreisbogens).

Es gilt:

M B^{2} = A B^{2} + M A^{2} \Leftrightarrow r^{2} = {(\frac{s}{2})}^{2} + {(r - h)}^{2}

Nach

s

auflösen:

\Rightarrow s = \sqrt{4 \cdot (r^{2} - {(r - h)}^{2})}

\Rightarrow s = \sqrt{4 \cdot (4^{2} - {(4 - 2)}^{2})} = \sqrt{48} \approx 6,93 c m

Der Mittelpunktswinkel wird über die Winkelfunktion

sin (\frac{α}{2}) = \frac{s}{2 r}

ermittelt:

\Rightarrow sin (\frac{α}{2}) = \frac{6,93}{2 \cdot 4} \approx 0,87

\Rightarrow \frac{α}{2} = {60,03}^{\circ}

\Rightarrow α = {120,06}^{\circ}

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