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Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels?

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Unterschied und Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels

Gradmaß:

Die alten Babylonier fanden heraus, dass sich ungefähr alle

360

Tage das selbe ereignete. Dies nannten sie Jahr. Und weil alles in diesem Rhythmus wiederkehrte (Überschwemmungen, Saat- und Erntezeit, usw.), gaben sie dem Jahr eine Kreisform (wenn der Kreis sich schließt beginnt alles wieder von vorne). Dazu zeichneten sie jeden Tag in ihren Kalender ein

- -

sie unterteilten den Kreis in

360

gleichgroße Teile.
Zwar stellte sich später heraus, dass ein Jahr ca.

365,2425

Tage lang ist, aber der Kreis wird noch bis heute in

360

Teile (Grad) eingeteilt.

Bogenmaß:

Die alten Griechen kannten die babylonische Einteilung des Kreises, wollten aber lieber eine eigene Variante. Deshalb zeichneten sie einen Kreis, definierten den Radius als genau 1 und maßen den Umfang des Kreises... was dann irgendwie zwischen 6 und 7 lag (näher bei der

6)

. Der Herr Pythagoras entdeckte dann irgendwann, dass es ziemlich genau

2 \cdot \frac{22}{7}

war. Er kam durch die Berechnung des Flächeninhalts drauf. Seit dem wurde diese eigenartige Zahl mit einem griechischen

P

wie Pythagoras bezeichnet

- -

auch heute noch heißt sie "pi", ist aber viel genauer als damals.

Jedenfalls merkten die Griechen, dass der Umfang eines Kreises mit Radius 1 einen Umfang von

2 \cdot π

hatte.

Anstatt den Kreis in 360° einzuteilen, definierten sie sich den gewünschten Winkel über die Länge des Kreisbogens (daher Bogenmaß).

Vollkreis:

Gradmaß:

360^{\circ}

Bogenmaß:

2 \cdot π

Halbkreis:

Gradmaß:

180^{\circ}

Bogenmaß:

π

Ein Winkel von 180° entspricht einer Bogenlänge von

π

.

Somit kann eine Formel wie folgt erstellt werden (Dreisatz):

α^{\circ} :

Winkel im Gradmaß

α_{b} :

Winkel im Bogenmaß

180°

: π = α^{\circ} : α_{b}

\Rightarrow 1^{\circ} = \frac{π}{180^{\circ}}

\Rightarrow α_{b} = α^{\circ} \cdot \frac{π}{180^{\circ}}

\Rightarrow 1 = \frac{180^{\circ}}{π}

\Rightarrow α^{\circ} = α_{b} \cdot \frac{180^{\circ}}{π}

Ein kleines PS zum Bogenmaß:

Die Griechen entdeckten ebenfalls, dass der Radius, der bislang 1 hatte sein müssen, nur einen Streckungsfaktor darstellt. Wird der Radius mit

r

bezeichnet, so muss der Umfang mit eben diesem

r

multipliziert werden:

U = 2 \cdot π \cdot r

Und die Formel sollte doch bekannt sein.

Gegeben: Winkel in Gradmaß
Gesucht: Winkel in Bogenmaß

Beispiel

Gegeben:

α = 30^{\circ}

Von Gradmaß nach Bogenmaß gilt:

α

(Bogenmaß)

= α

(Gradmaß)

\cdot \frac{π}{180^{\circ}}

30^{\circ} \cdot \frac{π}{180^{\circ}} = \frac{π}{6}

\Rightarrow

Ein Winkel

α

von

30^{\circ}

Grad entspricht einem Winkel von

\frac{π}{6}

Radiant.

Gegeben: Winkel in Bogenmaß
Gesucht: Winkel in Gradmaß

Beispiel

Gegeben:

α = 1,25

(Radiant)

Von Bogenmaß nach Gradmaß gilt:

α

(Gradmaß)

= α

(Bogenmaß)

\cdot \frac{180^{\circ}}{π}

1,25 \cdot \frac{180^{\circ}}{π} \approx {71,62}^{\circ}

\Rightarrow

Ein Winkel

α

von

1,25

Radiant entspricht einem Winkel von ca.

{71,62}^{\circ}

Grad.

Gegeben:

b

(Kreisbogen) und

r

(Radius)
Gesucht:

α

(Mittelpunktswinkel) in Grad- und Bogenmaß

Beispiel

Gegeben:

b = 6 c m

r = 2 c m

Der Bogenmaß des Mittelpunktswinkel ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens

b

zum Radius

r :

\Rightarrow α = \frac{b}{r} = \frac{6}{2} = 3

rad (Radiant)

3 rad

= 3 \cdot \frac{180^{\circ}}{π} \approx {171,89}^{\circ}

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