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Bestimmung spezieller Werte für Sinus bzw. Kosinus

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie bestimmt man spezielle Werte für Sinus bzw. Kosinus?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sinus und Kosinus von 0°

Betrachtet man einen Einheitskreis

(s

. Bild) dann lässt sich jeder Punkt auf dem Kreis eindeutig festlegen als Schnittpunkt des Schenkels eines Winkels

α

und dem Einheitskreis selbst.

Für die Koordinaten des Punktes

P

gilt:

x_{P}

ist der Kosinus des Winkels

α

y_{P}

ist der Sinus des Winkels

α

Der Punk

P (1 | 0)

spiegelt also die Sinus-

u

. Kosinuswerte eines Winkels von 0°

\Rightarrow sin

0°

= 1

\Rightarrow cos

0°

= 0

Zur Überprüfung kann man nachrechnen:

{sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1^{2} + 0^{2} = 1^{2} = 1

Sinus und Kosinus von $β =$ 30°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck

A B' C

mit Hypotenuse

c

(siehe Bild).

Winkel 3060

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

α =

180° - 90°

- β =

60°

Man kann also leicht das gleichseitige Dreieck

A B

C(alle Seiten und Winkeln haben dieselbe Länge und Größe) konstruieren. Alle Seiten haben die Länge

c

und alle Winkel sind 60° groß.

h = B' C

ist die Höhe des Dreiecks.

Aus

A B = c

folgt

A B' = \frac{c}{2}

Im rechtwinkligen Dreieck

A B' C

gilt für die Höhe

h

(Satz des Pythagoras):

h = \sqrt{c^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} c^{2}} = \frac{c}{2} \sqrt{3}

Es folgt also für den Winkel

β :

sin(30°)

= sin β = \frac{A B'}{A C} = \frac{\frac{c}{2}}{c} = \frac{1}{2}

cos(30°)

= cos β = \frac{B' C}{A B'} = \frac{h}{c} = \frac{\frac{c}{2} \sqrt{3}}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sinus und Kosinus von $α =$ 45°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck

A B C

mit Ankathete

a = A B

zum Winkel

α

(siehe Bild).

Winkel 45

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

β =

180° - 90°

- α =

45°

Das Dreieck

A B C

ist also ein gleichschenkliges Dreieck

(2

Winkel sind gleich, also auch 2 Seiten). Es folgt somit:

A B = B C = a

A C = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2} \cdot a

(Pythagoras)

Im rechtwinkligen Dreieck

A B C

gilt für den Winkel

α :

sin(45°)

= sin α = \frac{B C}{A C} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos(45°)

= cos α = \frac{A B}{A C} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Sinus und Kosinus von $α =$ 60°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck

A B' C

mit Hypotenuse

c

(siehe Bild).

Winkel 3060

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

β =

180° - 90°

- α =

30°

Man kann also leicht das gleichseitige Dreieck

A B

C(alle Seiten und Winkeln haben dieselbe Länge und Größe) konstruieren. Alle Seiten haben die Länge

c

und alle Winkel sind 60° groß.

h = B' C

ist die Höhe des Dreiecks.

Aus

A B = c

folgt

A B' = \frac{c}{2}

Im rechtwinkligen Dreieck

A B' C

gilt für die Höhe

h

(Satz des Pythagoras):

h = \sqrt{c^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} c^{2}} = \frac{c}{2} \sqrt{3}

Es folgt also für den Winkel

α :

sin(60°)

= sin α = \frac{B' C}{A B'} = \frac{h}{c} = \frac{\frac{c}{2} \sqrt{3}}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos(60°)

= cos α = \frac{A B'}{A C} = \frac{\frac{c}{2}}{c} = \frac{1}{2}

Sinus und Kosinus von 90°

Betrachtet man einen Einheitskreis

(s

. Bild) dann lässt sich jeder Punkt auf dem Kreis eindeutig festlegen als Schnittpunkt des Schenkels eines Winkels

α

und dem Einheitskreis selbst.

Für die Koordinaten des Punktes

P

gilt:

x_{P}

ist der Kosinus des Winkels

α

y_{P}

ist der Sinus des Winkels

α

Der Punk

P (0 | 1)

spiegelt also die Sinus-

u

. Kosinuswerte eines Winkels von 90°

\Rightarrow sin

90°

= 0

\Rightarrow cos

90°

= 1

Zur Überprüfung kann man nachrechnen:

{sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 0^{2} + 1^{2} = 1^{2} = 1

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