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Seiten oder Winkel eines Sehnenvierecks

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines Sehenvierecks?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Wenn es darum geht in einem Sehnenviereck Seiten oder Winkel zu bestimmen, dann muss man mit Winkelfunktionen, Sinus- und Kosinussatz arbeiten.

Wichtig ist folgende Tatsache:

Die Summe der Gegenwinkel in einem Sehnenviereck ist gleich 180°

Beispiel

Gegeben:

a = 34

d = 39

β =

93°

γ =

130°

Gesucht sind die restlichen Seiten und Winkel des Sehnenvierecks.

sehnenviereck_neu

Da die Summe der Gegenwinkel gleich 180° sein muss, ergeben sich folgende Werte für die restlichen 2 Winkeln:

α =

180°

- γ =

180° -130° = 50°

ρ =

180°

- β =

180° - 93° = 87°

Mit dem Kosinussatz ermittelt man die Diagonale

e :

e^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot cos α

\Rightarrow e = \sqrt{a^{2} + d^{2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot cos α} \approx 31,2

cm

Mit dem Sinussatz ermittel man den Winkel

β'

im Dreieck ABD:

\frac{d}{sin β'} = \frac{e}{sin α}

\Rightarrow β' = {sin}^{- 1} (\frac{d}{e} \cdot sin α) =

73,2°

Der andere Winkel von 106,8° kann nicht der gesuchte Winkel sein, denn

β'

muss ein Teilwinkel von

β =

93° sein!

Für die restlichen Winkel im Dreieck DCB gilt dann:

β'' = β - β' =

93° - 73,2° = 19,8°

ρ' =

180°

- γ - β'' =

180° - 130° - 19,8° = 30,2°

Mit dem Sinussatz lassen sich nun die restlichen Seiten

b

und

c

im Dreieck DCB ermitteln:

\frac{b}{sin ρ'} = \frac{e}{sin γ} \Rightarrow b = \frac{sin γ}{sin ρ'} \cdot e =

20,5°

\frac{c}{sin β''} = \frac{e}{sin γ} \Rightarrow c = \frac{sin γ}{sin β''} \cdot e =

13,8°

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