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Seiten oder Winkel im allg. Dreieck mit Sinussatz

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines Dreiecks mit dem Sinussatz?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Im Folgenden werden die Seiten eines Dreiecks mit

a, b

und

c

bezeichnet, sowie die entsprechenden Maßen

α, β

und

γ

der gegenüber liegenden Winkel.

Gegeben: zwei Winkel, eine Seite
Gesucht sind die restlichen Seiten und Winkel des Dreiecks.

Sind zwei Winkel gegeben, dann ist wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck

(α + β + γ =

180°

),

der dritte Winkel leicht aus zu rechnen.

Die fehlenden Seiten werden dann mittels Sinussatz bestimmt.

Beispiel

Gegeben:

α =

60°

, β =

40°,

a = 10 c m

\Rightarrow γ =

180°

- (α + β) =

180° - (60°+40°) = 80°

Nach dem Sinussatz:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

folgt für die Seite

b :

\Rightarrow b = \frac{a}{sin α} \cdot sin β = 7,42 c m

Die Seite

c

wird genauso berechnet:

\Rightarrow c = \frac{a}{sin α} \cdot sin γ = 11,37 c m

Gegeben: zwei Seiten, ein Winkel
Gesucht sind die restlichen Seiten und Winkel des Dreiecks.

Sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben, dann muss man darauf achten, dass der angegebene Winkel nicht von den zwei Seiten eingeschlossen wird. Sollte dies der Fall sein, muss man auf den Kosinussatz zurückgreifen.

1) Beispiel

Gegeben:

a = 10

cm,

b = 5

α =

60°

Nach dem Sinussatz:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

folgt für den Winkel

β :

\Rightarrow sin β = \frac{b}{a} \cdot sin α = 0,433

\Rightarrow β_{1} = {sin}^{- 1} (0,433) =

25,66°

Kann es einen Winkel

β_{2}

geben?
Theoretisch im 2. Quadranten, denn es gilt:

sin

(180°-

β_{1}) = sin

(154,34°)

\approx 0,433

Aber wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck muss gelten:

β_{2} + α + γ =

180°
Da aber bereits

β_{2} + α >

180°

ist, gibt es nur ein eindeutig festgelegtes Dreieck zu den gegebenen Größen.

γ

wird nun über die Innenwinkelsumme im Dreieck bestimmt:

γ =

180°

- (α + β) =

94,34°

Damit lässt sich auch

c

bestimmen (erneut mit dem Sinussatz):

c = \frac{a}{sin α} \cdot sin γ = 11,51

cm

2) Beispiel

Gegeben:

a = 2

cm,

b = 5

α =

45°

Nach dem Sinussatz folgt für den Winkel

β :

sin β = \frac{b}{a} \cdot sin α = 1,18

\Rightarrow

Es gibt keinen Winkel

β,

da der Sinus keinen Wert außerhalb von

[- 1; 1]

annimmt.

Gegeben: zwei Winkel, eine Seite
Gesucht ist die Höhe des Dreiecks.

Sind zwei Winkel gegeben, dann ist wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck

(α + β + γ =

180°

),

der dritte Winkel leicht aus zu rechnen.

Die fehlenden Seiten werden dann mittels Sinussatz bestimmt.

Beispiel

Gegeben:

c = 96 m, α =

40°,

β =

61°
Gesucht: die Höhe auf die Seite

c : h_{c}

Zunächst muss man

γ

bestimmen:

γ = 180 - (α + β) =

79°

Damit lässt sich a bestimmen:

\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ} \Rightarrow a = \frac{sin α}{sin γ} \cdot c \Rightarrow a \approx 62,86 m

Somit kann man die Höhe

h_{c}

über die Definition des Sinus ermitteln:

sin β = \frac{h_{c}}{a}

(das rechte, rechtwinklige Dreieck, das durch die Höhe entsteht)

h_{c} \approx 54,98 m

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