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Landvermessungsaufgaben mit Sinus- u. Kosinussatz

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie ermittelt man Entfernungen zwischen zwei Objekten mit Hilfe des Sinus- und Kosinussatzes?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Entfernung zweier Orte

Zwei Orte A und $B$ liegen auf verschiedenen Seiten eines Sees. Zwei Straßen, die von A und $B$ geradlinig ausgehen, treffen sich in $C$ unter einem Winkel von 60°.
Wie weit ist A von $B$ entfernt (Luftlinie), wenn die Entfernung von $B$ bis $C 5$ km und die Entfernung von A bis $C 8$ km beträgt?

Skizze erstellen:

Orte

ABC stellt ein Dreieck dar, es werden 3 Größen angegeben: 2 Seiten

(a, b)

und der von diesen Seiten eingeschlosse Winkel

(γ) .

Kosinussatz anwenden:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot cos γ

\Rightarrow c^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot cos (60) = 89 - 80 \cdot 0,5 = 49

\Rightarrow c = \sqrt{49} = 7

km

Der Ort A liegt 7 km vom Ort

B

entfernt.

Turmhöhe

Von einem Schiff $A_{1}$ aus sieht man die Spitze eines Leuchtturms unter einem Erhebungswinkel von $α =$ 5° und von einem Schiff $A_{2}$ aus unter einem Erhebungswinkel von $β =$ 15°. Beide Schiffe befinden sich genau westlich vom Leuchtturm und sind $600 m$ voneinander entfernt. Wie hoch ist der Leuchtturm?

Skizze anfertigen:

turm

Die beiden Schiffe und die Turmspitze bilden das Dreieck

A_{1} A_{2} T

Aus

α

und

β

bestimmt man die restlichen Winkel des Dreiecks:

β' =

180°

- β (A_{1}

und

A_{2}

liegen auf einer waagerechten Linie)

γ =

180°

- (α + β') =

180°

- (α + 180

- β) = β - α

(Innenwinkelsumme ist gleich 180°)

\Rightarrow β' =

165°

\Rightarrow γ =

10°

Nach dem Sinussatz gilt:

\frac{A_{1} A_{2}}{sin γ} = \frac{A_{2} T}{sin α}

Somit kann die Entfernung des Schiffes

A_{2}

zur Turmspitze

T

berechnet werden:

\Rightarrow A_{2} T = \frac{A_{1} A_{2}}{sin γ} \cdot sin α = \frac{600}{sin (10)} \cdot sin (5) = 301,15 m

Das Schiff

A_{2},

die Turmspitze

T

und der Turmboden

O

bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Also gilt für die Höhe

h

des Turmes:

h = A_{2} T \cdot sin β = 301,15 \cdot sin (15) = 77,94 m

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