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Winkel zu einem Wert von Sinus oder Kosinus

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Winkel zu einem gegebenen Wert von Sinus oder Kosinus?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Beispiel:
Bestimme die Winkel α, für die gilt sinα=0,5.

Gegeben: sinα=0,5
Gesucht: α1,α2

Vorspann: Es gibt zwei Winkel zwischen 0° und 360°, für die der Sinus den Wert 0,5 annimmt. Daher hat eine solche Aufgabe stets zwei Lösungen.

1. Lösung (α1):
Diese Lösung findet man über den Taschenrechner.

sinα=0,5
Eingabe im Taschenrechner: SHIFT SINUS 0,5 bzw. sin-10,5.

⇒α1= 30°

2. Lösung (α2):

Da der Sinus im 1. und im 2. Quadranten positiv ist und 30° ein Winkel aus dem 1. Quadranten ist, liegt der zweite Winkel im 2. Quadranten.

Somit gilt: α2= 180°- α1= 180°-30° = 150°

Sinuswert

Lösung:
α1= 30°
α2= 150°
Beispiel:
Bestimme die Winkel α, für die gilt cosα=-0,5.

Gegeben: cosα=-0,5
Gesucht: α1,α2

Vorspann: Es gibt zwei Winkel zwischen 0° und 360°, für die der Kosinus den Wert -0,5 annimmt. Daher hat eine solche Aufgabe stets zwei Lösungen.

1. Lösung (α1):
Diese Lösung findet man über den Taschenrechner.

cosα=-0,5
Eingabe im Taschenrechner: SHIFT KOSINUS -0,5 bzw. cos-1-0,5.

⇒α1= 120°

2. Lösung (α2):

Der Kosinus ist im 2. und im 3. Quadranten negativ.
120° ist ein Winkel aus dem 2. Quadranten. Der zweite Winkel liegt folglich im 3. Quadranten.

Um den zweiten Winkel berechnen zu können, benötigen wir den entsprechenden Winkel aus dem ersten Quadranten:

120° = 180° - 60°
Daher lautet der entsprechende Winkel aus dem ersten Quadraten 60°.
(Zur Überprüfung: cos 60° =0,5. Der gleiche Betrag - eben nur mit anderem Vorzeichen).

Somit gilt: α2= 180°+ 60° = 240°

Kosinuswert

Lösung:
α1= 120°
α2= 240°
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