Tangens

In der Trigonometrie [mehr dazu] wird der Tangens eines Winkels ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im rechtwinkligen Dreieck definiert als das Seitenverhältnis:




Tangens im Einheitskreis



Ein Kreis [mehr dazu] um den Ursprung ${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(0\mid 0)}$ mit Radius ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ LE (Längeneinheit) heißt Einheitskreis. Jeder Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mid {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$ auf dem Einheitskreis lässt sich eindeutig als Schnittpunkt des Schenkels eines Winkels ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und dem Einheitskreis festlegen.

Der Schnittpunkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}ʹ}$ zwischen der Kreistangente ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im Punk ${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}ʹ}$ und die Gerade ${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, die durch den Punkt ${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ verläuft, zusammen mit den Punkten ${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}ʹ}$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Der Tangens des Winkels ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist dann gleich der Höhe ${\displaystyle {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}ʹ}}$dieses Dreiecks: