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Doppelt substituieren? Best. Integral berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration durch Substitution

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17:39 Uhr, 13.03.2014

Hallo liebe Freunde der Integrationsrechnung!

Ich habe hier ein Beispiel einer Klausur (welche ich damals leider nicht geschafft habe). Die Angabe sieht folgendermaßen aus:
(1)

\int_{0}^{1} \frac{2^{x} + 2}{2^{2 x} - 2^{x + 1} - 3} d x

Ich habe das Ganze mal vereinfacht auf diese Form gebracht:
(2)

\int_{0}^{1} \frac{2^{x}}{4^{x} - 2 \cdot 2^{x} - 3} d x + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{4^{x} - 2 \cdot 2^{x} - 3} d x

Danach habe ich mit

u = 2^{x}

substituiert und bin auf folgendes gekommen:
(3)

\frac{1}{ln (2)} (\int_{0}^{1} \frac{1}{u^{2} - 2 u - 3} + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{u^{2} - 2 u - 3})

Umformen des Nenners in den Integralen bringt mich zu

{(u - 1)}^{2} - 4

Durch nochmalige substituition mit

z = u - 1

komme ich auf die Form
(4)

\frac{1}{ln (2)} (\int_{0}^{1} \frac{1}{z^{2} - 4} + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{z^{2} - 4})

Nun sieht das ganze schon ganz hübsch aus, aber ich stehe an dieser Stelle an. Leider dürfen wir keine Taschenrechner bei der Klausur verwenden, weswegen die Integration zum Beispiel mit meinem Voyage200 an dieser Stelle wegfällt. Wie integriere ich nun am Besten die beiden Integrale (die ja gleich sind)? Finde auf die Schnelle auch kein Stammintegral für

\frac{1}{a^{2} - b^{2}}

(was in dem Fall gut passen würde).

Bitte um Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Loewe1

19:04 Uhr, 13.03.2014

Hallo,

Die beiden Integrale sind nicht gleich.

In Zeile 3 stimmt das 2. (rechte) Integral nicht, im Nenner fehlt ein

u

.

Im Übrigen empfehle ich Dir ,dieses Integral nicht zu splitten, das wird zu aufwendig.

Substituiere

u = 2^{x}

und mache eine Partialbruchzerlegung .

Du kommst dann auf:

\frac{1}{ln 2} \int \frac{u + 2}{(u + 1) (u - 3) u}

du

Nach der Partialbruchzerlegung brauchst Du keine komplzierten Integrale mehr lösen, das sind alles Grundintegrale.

rundblick aktiv_icon

19:13 Uhr, 13.03.2014

also:

wenn du

\to u = 2^{x}

substituierst (-was nachher sich bewähren wird) ..

dann musst du das auch richtig machen

\to

dh auch das Differential

d x

ersetzen durch

d u

so bekommst du den Zasammenhang:->

u = 2^{x} .

\Rightarrow .

\frac{d u}{d x} =

. .

. also dann

d x =

.?.* du

und dann noch ein Tipp:
es ist

\to (u^{2} - 2 u - 3) = (u - 3) \cdot (u + 1)

usw, usw...

na ja, .. sehe gerade, dass dir schon mehr geboten wurde ..

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20:35 Uhr, 13.03.2014

Danke für eure Hilfe. Hab das jetzt so gemacht:

(1)

I = \frac{1}{ln (2)} \int_{0}^{1} \frac{u + 2}{(u - 3) (u + 1) u} d u \Rightarrow

(2)

u + 2 = \frac{A}{u - 3} + \frac{B}{u + 1} + \frac{C}{u}

Mit dem Koefizientenvergleich komme ich auf:

A = \frac{11}{6}

B = \frac{7}{6}

C = - \frac{2}{3}

weiters dann

(3)

\frac{1}{ln (2)} (\frac{11}{6} \int_{0}^{1} \frac{1}{u - 1} d u + \frac{7}{6} \int_{0}^{1} \frac{1}{u + 3} d u - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u)

(4)

I = \frac{1}{ln (2)} (\frac{11}{6} ln (- 1) \frac{7}{6} ln (6) - \frac{2}{3} ln (2) + C)

Und hier bei

(4)

seht ihr auch das Problem. Wenn ich rück substituiere, also für

u

wieder mein

2^{x}

einsetze, dann ergibt die Klammer mit

ln (2 - 3)

einen komplexe Wert! Das ist so sicher nicht im Sinne der Lösung der Klausur. Habe ich die PBZ falsch gemacht?

EDIT: Habe gerade gesehen, dass ich

(u - 1) (u + 3)

geschrieben habe bei der PBZ. Werde das schnell korrigieren und mich dann zurückmelden!

rundblick aktiv_icon

20:52 Uhr, 13.03.2014

\to

was soll der Unsinn mit den Grenzen von 0 bis 1 ?

diese Grenzen bezogen sich doch auf

\to x \to

NICHT auf

\to u

Tipp:

ermittle erst mal das unbestimmte Integral (keine Grenzen mitschleppen!)
und beginne dann am Schluss mit Nachdenken ..

Loewe1

21:01 Uhr, 13.03.2014

Hallo

Bei A und

B

hast Du Dich verrechnet

A = \frac{5}{12}

B = \frac{1}{4}

C = - \frac{2}{3}

->stimmt

rundblick aktiv_icon

21:06 Uhr, 13.03.2014

@ Loewe1

warum wartest du nicht ab.. er hat doch geschrieben, dass er am Verbessern sei..

ausserdem:

"Bei

B

und

C

hast Du Dich verrechnet"

\to

da hast du ja gleich selbst noch bemerkt, dass

C

vielleicht doch stimmt?!

Loewe1

21:08 Uhr, 13.03.2014

Rundblick

ich kann das auch allein..

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21:09 Uhr, 13.03.2014

Gibts ja nicht, ich hab für

A = 1

B = \frac{1}{3}

und

C = - \frac{2}{3}

:-P) Na toll, hab ich mich wohl ordentlich verrechnet, deswegen bekomm ich jetzt auch schon wieder einen negatifen Logarithmus heraus am Ende. Uuuuuund gleich noch mal ;-)
Anscheinend bin ich wirklich ein schlampiger Rechner...

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21:09 Uhr, 13.03.2014

Gibts ja nicht, ich hab für

A = 1

B = \frac{1}{3}

und

C = - \frac{2}{3}

Loewe1

21:10 Uhr, 13.03.2014

Hallo,

Ja das hast Du , rechne nochmal in Ruhe.

Da ich heute nicht mehr online bin , hier zum Vergleichen das Ergebnis:

\frac{ln 3}{4 ln 2} - \frac{16}{12} = - 0.937

und das geht dann wirklich ohne Rechner .

:-)

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12:41 Uhr, 19.03.2014

Ja, jetzt passts, danke!

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