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Eigenschaften von Funktionen -Beschränkte Funktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Beschränkt, Eigenschaft, Funktion

 
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THE-E

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16:17 Uhr, 16.01.2013

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Hallo,

Ich habe Schwierigkeiten bei einer Definition von Beschränkten Funktionen:

Definition(im Buch):
Die Funktion f∶ x→ f(x) mit x ∈ A heißt auf A nach oben (unten) beschränkt, wenn die Wertemenge f(A) eine obere (untere) Schranke besitzt.
Die Funktion heißt beschränkt auf A, wenn die Wertemenge f(a) beschränkt ist.
Folgerung:
Eine Funktion ist auf A genau dann nicht beschränkt, wenn für jede Zahl s>0 ein x ∈ A existiert mit |f(x)|>s.

Ich verstehe alles bis auf die Folgerung.
Kann mir das jemand erklären, was genau die Betragsfunktion des Funktionswert mit s zu tun hat.
Wieso beweist es das die Funktion nicht beschränkt ist ?

Ein Beispiel wäre hilfreich.

Gruß

THE-E




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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

16:57 Uhr, 16.01.2013

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Dein Unverständnis scheint berechtigt!

Gegenbeispiel: die Funktion f(x)=x2 mit x∈ℝ ist eindeutig nach unten beschränkt. Es gibt kein f(x)<0.
Trotzdem kann man für jede Zahl s>0 ein x finden - zum Beispiel x=s+1 - für die x2>s ist.

Die Folgerung scheint also falsch zu sein. Sie gilt nur für nach oben unbeschränkte Funktionen, und da wäre weder die Einschränkung s>0 noch die Betragsfunktion notwendig.

Gruß
Werner
THE-E

THE-E aktiv_icon

17:13 Uhr, 16.01.2013

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Danke für deine Antwort Werner. Ich würde trotzdem gerne eine zweite Meinung hören, da es im Buch so steht.

Gruß

THE-E
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Shipwater

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18:33 Uhr, 16.01.2013

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"Unbeschränkt" bedeutet "nach oben unbeschränkt" oder "nach unten unbeschränkt"
Damit ist f:ℝ→ℝ,x↦x2 nicht beschränkt.
Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

23:40 Uhr, 16.01.2013

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@Shipwater: Deine Aussage deckt sich mit dem Wikipedia Artikel zur "Beschränktheit" <http://de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nktheit>. Dann ist aber die Definition oben ...na ja sagen wir mal: zumindest unvollständig.

Es ist dort nicht definiert, was es bedeutet, wenn eine Wertemenge (keine Funktion!) beschränkt ist.

Allein aus der oben aufgeführten Definition kann ich jedenfalls nicht die Folgerung herleiten.

Gruß
Werner
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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

10:30 Uhr, 17.01.2013

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"Beschränkt" ist definiert als "nach unten beschränkt" und "nach oben beschränkt"
THE-E

THE-E aktiv_icon

11:14 Uhr, 17.01.2013

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Ok, das Missverständnis mit unbeschränkt/beschränkt habe ich jetzt verstanden.

Also, wenn NUR obere Schranke oder NUR untere Schranke oder GAR KEINE Schranke vorhanden, dann Funktion unbeschränkt.
Wenn obere UND untere Schranke vorhanden, dann Funktion beschränkt.

Kann mir jemand trotzdem die Folgerung erklären, wenn es geht anhand eines Beispiels ?

Gruß

THE-E
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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

11:21 Uhr, 17.01.2013

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Die Folgerung sagt doch nur aus, dass der Betrag beliebig groß werden kann. Also entweder werden beliebig kleine oder beliebig große Werte angenommen, damit ist die Beschränktheit kaputt.
Frage beantwortet
THE-E

THE-E aktiv_icon

11:38 Uhr, 17.01.2013

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Vielen Dank euch beiden für eure Antworten. Habe es nun verstanden!

Gruß

THE-E