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Einheitsvektor senkrecht zum Dreieck berechnen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Dreieck, Kreuzprodukt, senkrecht, Vektor

Rockofmonkeys aktiv_icon

15:31 Uhr, 24.07.2014

Hey Leute ich brauche mal einen Denkanstoß.

Ich habe ein Dreieck mit den Punkten

A = (2; - 1; 1)

B = (3; 5; - 4)

C = (4; 3; 1)

gegeben und soll nun einen Einheitsvektor der senkrecht zum Dreieck ist, berechnen...

Ich habe bereits die Vektoren AB=(1;6;-5) und AC=(2;0;2) ausgerechnet, ebenso ihr Kreuzprodukt=(12;8;-12)

Weiter weiß ich nicht, kann mir jemand helfen?

Grüße,
Chris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

15:38 Uhr, 24.07.2014

Hallo,

Du sollst einen Einheitsvektor ermitteln, der senkrecht zum Dreieck ist. Jetzt hast Due mit dem Kreuzprodukt einen Vektor ermittelt, der senkrecht zum Dreieck ist. Einzige Restaufgabe ist, aus diesem Vektor einen Einheitsvektor zu machen. Wenn man die Definition für einen Einheitsvektor kennt, dann weiss man eigentlich auch schon, was man machen muss. Kennst Du die Definition für einen Einheitsvektor?

PS: Hast Du bei

\vec{A C}

einen Abschreibe- oder einen Rechenfehler?

PPS: Ist wohl ein Rechenfehler, weil das Kreuzprodukt auch nicht stimmt...

Rockofmonkeys aktiv_icon

16:29 Uhr, 24.07.2014

Hey,
ich berechne das Kreuzprodukt etwas anders, so ist es für mich nicht so verwirrend mit den Diagonalen.

Wenn ich 2 Vektoren wie hier AB=(1;6;-5) und AC=(2;0;2) habe,
dann schreibe ich ihre Dimensionswerte in eine Matrix:

//x;1;2\\
//y;6;0\\
//z;-5;2\\

Dann löse ich nach Matritzen 2. Ordnung auf und so weiter, damit komme ich auf einen Endterm von

12 x + 8 y - 12 z

Dieses Verfahren hat mir ein Freund gezeigt, da ich mit der gewöhnlichen Rechnung immer durcheinander gekommen bin.

Ist es etwa falsch, das so auszurechnen?

Grüße,
Chris

rundblick aktiv_icon

21:13 Uhr, 24.07.2014

"
Ich habe ein Dreieck mit den Punkten
A=(2;−1;1)
B=(3;5;−4)

C = (4; 3; 1)

Ich habe bereits die Vektoren AB=(1;6;-5) und AC=(2;0;2) ausgerechnet..
"

\to

also nochmal deutlicher:

. .

. du hast bereits

\vec{A C} \to

FALSCH aus"gerechnet" ..

klar, dass du dann auch nichts passendes Senkrechtes findest

probiers nochmal

\to . .

.

nebenbei:
kontrolliere zuerst noch, ob du alle Koordinaten der gegebenen
drei Punkte

A, B . C

richtig notiert hast..
?

Rockofmonkeys aktiv_icon

22:19 Uhr, 24.07.2014

Danke dass du meinen Zahlendreher kommentiert, den habe ich jetzt selber gefunden.

Was mir wichtiger ist, ist meine eigentliche Frage, ob das Verfahren so angewendet werden kann, anstelle des normalen Kreuzproduktverfahren.

Vielen Dank im Voraus ;-)

Bummerang

09:16 Uhr, 25.07.2014

Hallo,

Dein Verfahren ist nur eine andere Darstellung des folgenden Verfahrens:

Kreuzprodukt aus

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

und

(\begin{matrix} d \\ e \\ f \end{matrix}) :

Bilde

(\begin{matrix} a & d \\ b & e \\ c & f \\ a & d \\ b & e \end{matrix})

und errechne für die drei unteren

2 \times 2 -

Teilmatrizen die Determinanten. Das ergibt:

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) \times (\begin{matrix} d \\ e \\ f \end{matrix}) = (\begin{matrix} | (\begin{matrix} b & e \\ c & f \end{matrix}) | \\ | (\begin{matrix} c & f \\ a & d \end{matrix}) | \\ | (\begin{matrix} a & d \\ b & e \end{matrix}) | \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \cdot f - c \cdot e \\ c \cdot d - a \cdot f \\ a \cdot e - b \cdot d \end{matrix})

Vorteil dieser Version, man muss sich nicht um das zusätzliche Negieren für

y

kümmern, das erledigt die andere Reihenfolge der beiden Zeilen automatisch selber. Für

x

und

z

ergeben sich ja die selben Teilmatrizen und damit die selben Determinanten.

funke_61 aktiv_icon

09:32 Uhr, 25.07.2014

Dieses Verfahren (so wie von Dir in Deinem Post

16 : 29

Uhr,

24.07.2014

beschrieben) an sich ist schon ok.
Aber bei korrektem Rechnen ergäbe sich aus den in diesem Post angebenen Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ - 5 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

das Ergebnis

12 x - 12 y - 12 z

denn

(\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ - 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 \\ - 12 \\ - 12 \end{matrix})

;-)

rundblick aktiv_icon

22:06 Uhr, 25.07.2014

1.
" Danke dass du meinen Zahlendreher kommentiert, den habe ich jetzt selber gefunden.
"

\to

.. bitte, WAS hast du selber

(!)

gefunden??

\to

da war doch kein "Zahlendreher" - oder?!

. . \vec{A C}

war falsch angegeben - gib dir Mühe und schreibe es richtig auf

\to .

.

2.
" Was mir wichtiger ist, ist meine eigentliche Frage,
ob das Verfahren so angewendet werden kann
"

\to

zumindest ist das, was du als Ergebnis notierst

\to 12 x + 8 y - 12 z \to

KEIN Vektor
und also auch kein Normalenvektor zu ABC

3. du bist noch weit entfernt von der richtigen Beantwortung der gestellten Frage:

"
Ich habe ein Dreieck mit den Punkten

A = (2; - 1; 1)

B = (3; 5; - 4)

C = (4; 3; 1)

und soll nun einen

\to

Einheitsvektor der senkrecht zum Dreieck ist, berechnen."

also?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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