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Ellipse: Pe gesucht, wenn Tangente 45° und nur die

Universität / Fachhochschule

Tags: De-La-Hire, Ellipse

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09:13 Uhr, 13.03.2019

Ich suche einen Weg, den Punkt Pe auf einer Ellipse bestimmen zu können, wenn nur die Halbachsen a und

b

gegegebn sind und die im Punkte Pe anliegende Tangente die Halbachsen unter einem Winkel von 45° schneidet.

Eine grafische Lösung liegt bereits vor, die hilft mir aber nicht weiter, ich habe versucht, die Konstruktion nach De La Hire rückwärts zu gehen - bisher ohne Erfolg. Gibt es überhaupt einen Lösungsweg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

09:18 Uhr, 13.03.2019

Kennst du die "Spaltform" der Tangentengleichung ?

Respon

09:29 Uhr, 13.03.2019

Ein einfaches "ja" oder "nein" würde genügen !

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09:34 Uhr, 13.03.2019

Lass mir doch mal ein wenig Zeit, Deinen Tipp zu verstehen. Ich denke, Dein Tipp hat mich schon mal in die richtige Richtung bewegt. Ein kleiner Hinweis meinerseits: meine Mathematik liegt schon etwas mehr als

50

Jahre zurück...

Respon

09:35 Uhr, 13.03.2019

Wenn du willst, kann ich das kurz beschreiben.

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09:42 Uhr, 13.03.2019

r²

= (T - M)

•

(X - M)

so sollte es doch sein!
Umstellen nach

X

bringt mir den Schnittpunkt auf der Abszisse.
Der Rest sollte dann auch kein Problem sein.

Da liege ich doch richtig, soweit mein Verständnis für den Augenblick reicht.

Ich danke schon mal für den Tipp.

Respon

09:48 Uhr, 13.03.2019

Du hast hier eine Ellipse mit den gegebenen Halbachsen a und

b,

da gibt es kein

r

.
Gleichung:

b^{2} \cdot x^{2} + a^{2} \cdot y^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

Sei

P

ein Ellipsenpunkt mit

P (x_{P} | y_{P}),

dann läßt sich die Tangentengleichung darstellen durch

b^{2} \cdot x \cdot x_{p} + a^{2} \cdot y \cdot y_{P} = a^{2} \cdot b^{2}

Aus dieser Tangentengleichung kannst du den Anstieg extrahieren, und dieser ist laut Angabe

- 1

. Dadurch bekomst du eine Bestimmungsgleichung für

x_{p}

und

y_{p}

. Da

P

auf der Ellipse liegt, müssen die Koordinaten von

P

die Ellipsengleichung erfüllen.
Du hast also zwei Bestimmungsgleichungen für

x_{P}

und

y_{p} \to

ausrechnen.

( mit konkreten Zahlen sieht die Sache viel weniger "gefährlich" aus. )

Alternativ kannst du natürlich gleich die fertige Formel für den Anstieg der Tangente in einem bestimmten Ellipsenpunkt verwenden:

k_{P} = - \frac{b^{2} \cdot x_{P}}{a^{2} \cdot y_{P}}

oder ihn vorerst durch implizites Differenzieren bestimmen.

Atlantik aktiv_icon

10:09 Uhr, 13.03.2019

Alternative:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

geschnitten mit

y = m x + n

mit

m = 1 \to y = x + n

n

berechnen:

Nach

x_{1,2}

auflösen und Diskriminante

= 0

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:36 Uhr, 13.03.2019

Oder so:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

nach

y

auflösen und dann

y

= 1

setzen.

mfG

Atlantik

Respon

10:54 Uhr, 13.03.2019

Das Ergebnis ist ( nicht ganz unlogisch )

P (\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} | \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})

( beziehungsweise mit

\pm

kombiniert )

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11:13 Uhr, 13.03.2019

Mit diesem Ansatz

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

gibt es sicher mehr als einen Punkt auf der Ellipse, wobei jedoch nur einer davon die Tangente mit der Steigung 1 bzw. -1 bilden kann! Ich hab' schon einen zweiten gefunden.

Respon

11:15 Uhr, 13.03.2019

Welchen "Ansatz" meinst du ?

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11:16 Uhr, 13.03.2019

Den von Atlantik

Respon

11:20 Uhr, 13.03.2019

Das kann schon sein, bei quadratischen Gleichungen scheinen manchmal Lösungen auf, die nicht der Aufgabenstellung entsprechen.
Auch deine Angabe ist nicht exakt formuliert. Eine Tangente kann niemals ( außer in Sonderfällen ) die Halbachsen schneiden und ein - positiver - Winkel wird immer gegen den Uhrzeigersinn definiert.
( Daher mein Hinweis mit

\pm

kombinieren )

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17:21 Uhr, 13.03.2019

"Eine Tangente kann niemals die Halbachsen schneiden..." Du hast ja schon recht, ich senke mein Haupt und bitte mir meine Sünden nachzulassen :-)

Ob nun Winkel mit negativen Vorzeichen vervollständigt werden müssen... im technischen Gebrauch, wo ich eigentlich zu Hause bin/war wird das so nicht gehandelt.

Nun aber zurück zu meinem Thema. Wenn im kartesischen Koordinatensystem eine Ellipse mit ihrem Mittelpunkt M bei x,y = 0,0 liegt, dann wären auch und überhaupt für den Punkt Pe die Koordinaten bekannt. Wobei die grafische und schlussendlich auch die mathematische Konstruktion einer diesen Punkt berührenden Tangente nach La Hire bekanntermaßen ein Kinderspiel ist. Das Finden einer Tangente zu einem bis dahin völlig unbekanntem Punkt auf der Ellipse ist die Krux. Ausgehend von einer grafischen Lösung wird eine Gerade, die unter einem Winkel von 45° die Abszisse und die Ordinate schneidet, solange in Richtung Ellipse verschoben, bis die Gerade die Ellipse im gesuchten Punkt berührt, womit dann auch schlagartig die gesuchten Koordinaten bekannt werden!

Ich könnte jetzt eine numerische Methode erzeugen, um das Verschieben der geneigten Geraden rechnerisch nachzubilden. Das war/ist aber nicht meine Absicht. Der von Atlantic vorgetragene Vorschlag ist offensichtlich nicht geeignet. Auch habe ich noch nicht alle von Dir vorgeschlagenen Lösungswege betrachtet, was ich aber jetzt tun werde.

Atlantik aktiv_icon

18:29 Uhr, 13.03.2019

Lösung zu

10 : 09

Uhr,

13.03.2019 :

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

mit

y = x + n

schneiden:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x + n)}^{2}}{b^{2}} = 1

b^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + 2 a^{2} n x + a^{2} n^{2} = a^{2} b^{2}

x^{2} (a^{2} + b^{2}) + 2 a^{2} n x = a^{2} b^{2} - a^{2} n^{2}

x^{2} + \frac{2 a^{2} n x}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2} - a^{2} n^{2}}{a^{2} + b^{2}}

{(x + \frac{a^{2} n}{a^{2} + b^{2}})}^{2} = \frac{a^{2} b^{2} - a^{2} n^{2}}{a^{2} + b^{2}} + {(\frac{a^{2} n}{a^{2} + b^{2}})}^{2}

x_{1,2} = - \frac{a^{2} n}{a^{2} + b^{2}} \pm \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} - a^{2} n^{2}}{a^{2} + b^{2}} + {(\frac{a^{2} n}{a^{2} + b^{2}})}^{2}}

Aus Vereinfachungsgründen wähle ich

a = 4

und

b = 3

x_{1,2} = - \frac{16 n}{25} \pm \sqrt{\frac{144 - 16 n^{2}}{25} + {(\frac{16 n}{25})}^{2}}

\frac{144 - 16 n^{2}}{25} + {(\frac{16 n}{25})}^{2} = 0

n_{1} = 5 \to x_{1} = - \frac{16 \cdot 5}{25} = - \frac{16}{5}

n_{2} = - 5 \to x_{2} = - \frac{16 \cdot (- 5)}{25} = \frac{16}{5}

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1

\frac{{(- \frac{16}{5})}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1

y_{1,2} = \pm \frac{9}{5}

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

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19:43 Uhr, 13.03.2019

Noch ein Weg zu

P_{e} :

Großkreis:

k_{1} : x^{2} + y^{2} = 16

und Kleinkreis

k_{2} : x^{2} + y^{2} = 9

y = - x

schneidet

k_{1} \in :

x^{2} + x^{2} = 16

2 x^{2} = 16

x_{1} = \sqrt{8} \to y_{1} = - \sqrt{8}

x_{2} = - \sqrt{8} \to y_{2} = \sqrt{8}

y = - x

schneidet

k_{2} \in :

x^{2} + x^{2} = 9

2 x^{2} = 9

x_{1} = \sqrt{4,5} \to y_{1} = - \sqrt{4,5}

x_{1} = - \sqrt{4,5} \to y_{2} = \sqrt{4,5}

P_{e} 1 (- \sqrt{8} | \sqrt{4,5})

P_{e} 2 (\sqrt{8} | - \sqrt{4,5})

mfG

Atlantik

G r a p h :

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19:55 Uhr, 13.03.2019

@Atlantik
Vielen Dank für die Mühe, die Du Dir gemacht hast. Um zu

x_{1},_{2}

zu kommen wird sehr viel Rechenleistung verlangt, wenn ich das auf einem Mikrochip implementieren wollte. Dazu kommt noch, dass für jede beliebige Ellipse auch ein passendes n gefunden werden muss.

@Respon
Mittlerweile habe ich die Herleitung der Lösung aus 10:54 Uhr, 13.03.2019 nachvollziehen können, klar logisch. Und ein kräftiges Dankeschön für diesen Einsatz. Die Lösung besticht durch ihre Einfachheit! Oje, es ist schon lange her, dass meine grauen Zellen... Sag mal, hast Du je mal was anderes gemacht? Aber ok, zum Schluss bleibt nur das zweimalige Wurzelziehen, was mir die Prozessorleistung nicht großartig belasten wird.

Respon

20:01 Uhr, 13.03.2019

Weil ich so etwas einfach gerne sage:
Der beste Prozessor befindet sich gräulich eingefärbt wenige Zentimeter über den Augen.

UND

Für Rechnungen dieser Art braucht man weder TR noch Computer.

NUR

Gewissensfrage - Wer kann heute noch eine Ellipse oder eine Parabel nur mit Dreieck und Zirkel konstruieren ?

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20:42 Uhr, 13.03.2019

Ich kann's noch, sogar in groß und gebogen aus natürlichem Holz :-))

Respon

20:47 Uhr, 13.03.2019

Da kann ich nur sagen :

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21:04 Uhr, 13.03.2019

Nicht nur mit Worten..eine Babywiege für's Enkelkind

Respon

21:10 Uhr, 13.03.2019

Dafür braucht man natürlich eine Tangentengleichung, das sehe ich ein.

( Bevor wir uns noch den Unmut der Forumsociety zuziehen, sollten wir ein ernsthafteres Gehabe an den Tag legen. )

Atlantik aktiv_icon

13:37 Uhr, 14.03.2019

19 : 43

Uhr,

13.03.2019

Leider habe ich einen Fehler dadrin. In der Zeichnung habe ich ein Verfahren vorgestellt, wie man von den beiden Kreisen zu einem Punkt auf der Ellipse kommt. Aber nun ist es so, dass die Steigung in diesem Punkt nicht

m = 1

ist.

mfG
Atlantik

Roman-22

15:56 Uhr, 14.03.2019

>

Eine grafische Lösung liegt bereits vor
Die kann ich deiner Zeichnung aber leider nicht entnehmen. Eine graphische Lösung wäre ja die KONSTRUKTION des Punktes

P_{e}

ausgehend von den gegebenen Haupt- und Nebenachsen. Eine solche erkenne ich in deiner Zeichnung aber leider nicht. Übersehe ich etwas?
Für mich sieht es so aus aus, als hättest du verschiedene Winkel

φ

ausprobiert und dann das Bild mit jenem Winkel

φ

gepostet, der eben die gewünschte Tangente liefert.
Hättest du eine geometrische Konstruktion, könnte man die ja auch einfach nachrechnen.

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16:12 Uhr, 14.03.2019

Die Zeichung enthält alles, was ich zum Zeitpunkt der Fragestellung in Bezug auf De La Hire zusammen getragen habe. Aber Vorsicht: Es ist NICHT die Konstruktion einer Tangente in einem beliebigen Punkt nach De La Hire gefragt.

Die grafische Lösung besteht im Verschieben der Tangente von rechts nach links bis diese im Punkt Pe die Ellipse berührt, zwangläufig erhält man dann auch die Koordinaten, um die es in der Fragestellung geht. Den mathematischen Weg hat Respon sehr beeindruckend dargestellt.

Roman-22

16:31 Uhr, 14.03.2019

Naja, dann war deine graphische Lösung eben doch nur ein "Probieren".
Exakt ginge es so wie in beigefügter Zeichung in blau eingetragen. Die Gerade

(M P_{k})

ist einfach eine Diagonale des Achsenrechtecks.
Daraus ergibt sich

φ = a r c t a n \frac{b}{a}

und natürlich

x_{P_{e}} = a \cdot cos φ

und

y_{P_{e}} = b \cdot sin φ

.
Beachtet man nun die Beziehungen

cos (a r c t a n (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

und

sin (a r c t a n (x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}},

so kommt man damit auf die von Respon bereits genannten Ausdrücke

x_{P_{e}} = \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

und

y_{P_{e}} = \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

.

Falls das Ergebnis nicht nur für die 45° Tangente interessiert, sondern für einen beliebigen Winkel

ψ,

so müsste man eben mit

φ = a r c t a n \frac{b \cdot cos ψ}{a \cdot sin ψ}

rechnen.

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