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Epsilon-Delta-Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

PhysikKatze aktiv_icon

12:15 Uhr, 07.01.2023

Hallo!

Ich habe noch etwas Probleme mit der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit und bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe :-)

"Untersuchen Sie, in welchem Punkten

r \in A

die folgenden Funktionen stetig sind jeweils mit Hilfe der Folgenstetigkeit und mit dem

ε - δ

Kriterium.

a)

A = ℝ

und

f (x) = {\begin{array}{ll} x^{2}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{array}

A = ℝ_{\geq 0}

und

g (x) = {\begin{array}{ll} c o s (\frac{1}{x}), & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{array}

"

Meine Ansätze:
Mit der Folgenstetigkeit konnte ich (hoffentlich korrekt) zeigen, dass sowohl f(x) als auch g(x) in 0 nicht stetig sind. Ich bekomme es allerdings nicht hin, das ganze mit der Definition auch nochmal zu bestätigen. Ich würde mich sehr freuen, wenn ich mir das ganze nochmal korrekt anschauen kann :-)

Vielen Dank und liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Punov aktiv_icon

16:15 Uhr, 07.01.2023

Hallo, PhysikKatze!

Ich beschränke mich erstmal auf die erste Funktion, denn bei der zweiten kannst du dann analog vorgehen.

Um mittels des Epsilon-Delta-Kriteriums zu zeigen, dass

f

x = 0

nicht stetig ist, musst du zeigen:

\exists ɛ > 0 \forall δ > 0 \exists x : ∣ x ∣ < δ und ∣ x^{2} - 1 ∣ > ɛ

Sei

ɛ = \frac{1}{2}

. Unterscheide folgende Fälle:

(1)

0 < δ < \sqrt{2}

: Hier tut es

x = δ / 2

.

(2)

δ = \sqrt{2}

: Hier tut es

x = δ / 4

.

(3)

δ > \sqrt{2}

: Hier tut's

x = 1 / 2

.

Viele Grüße

PhysikKatze aktiv_icon

17:50 Uhr, 07.01.2023

Vielen Dank! :-)

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