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Erlang C Formel

Universität / Fachhochschule

Tags: "Erlang C"

LailaB aktiv_icon

09:04 Uhr, 22.02.2023

Hallo an alle.

Ich habe leider folgendes Problem..

Ich arbeite zurzeit an der Ermittlung der benötigten Mitarbeitern.
Hierfür möchte ich die Erlang-C Formel verwenden.
Da ich leider kein Mathematikerin bin, weiß ich nicht wirklich wie ich das berechnen soll.
Ich nutze zurzeit folgende Website zur Berechnung:
www.injixo.com/de/erlang-c-calculator

Jedoch würde ich das gerne in eine Excel einbauen und bräuchte dafür eine einfache Erklärung "für Nicht-Mathematiker" :-)

Ich habe ausschließlich folgende Informationen vorliegen:

Service Level

80

20

Länge des Intervalls:

60

Minuten
Anrufe:

200

Durchschnittliche Bearbeitungszeit

120

Sekunden

Der Rechner auf der Website gibt mir als Ergebnis

10

Agenten raus.
Ich weiß leider nicht wie die Website auf dieses Ergebnis kommt.

Ich würde mich über eure Hilfe freuen! :-)

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

HAL9000

11:24 Uhr, 22.02.2023

Die Erklärung lässt sich hier nachlesen: de.wikipedia.org/wiki/Erlang_C

Kurz zusammengefasst für dein Problem hier: Aus Anzahl

n = 200

an Anrufen und durchschnittlicher Bearbeitungszeit

t = 120 s

sowie Gesamtzeit

T = 3600 s

lässt sich zunächst das Arbeitsvolumen

a = \frac{n t}{T} = \frac{20}{3} \approx 6, 67

ermitteln. Das bedeutet schon mal, dass man

c \geq 7

Agenten braucht, ansonsten wäre der Andrang selbst bei angenommener Vollauslastung der Agenten nicht zu bewältigen.

Und für diese

c

Agenten ergibt sich nun Wahrscheinlichkeit

p_{c} = \frac{\frac{a^{c}}{c!} \cdot \frac{c}{c - a}}{(\sum_{n = 0}^{c - 1} \frac{a^{n}}{n!}) + \frac{a^{c}}{c!} \cdot \frac{c}{c - a}} (*)

dass ein zufälliger Anrufer warten muss. Dein Servicelevel 80 zu 20 bedeutet nun, dass

c

so gewählt werden muss, dass

p_{c} \leq 0, 2

ist, d.h. nur 20% oder ggfs. weniger warten müssen.

Wenn du das in Excel implementieren willst, dann musst du eben einerseits

a

aus

n, t, T

berechnen, und dann eben gemäß (*) das passende

c

ermitteln, und zwar durch "Vortasten" beginnen mit

c = ⌈ a ⌉

(aufrunden) und dann immer um Eins erhöhen, bis du das passende Servicelevel erreicht hat. Hier im vorliegenden Fall ergibt die Berechnung

p_{9} \approx 0, 3132

p_{10} \approx 0, 1746

,

d.h.

c = 10

ist der Moment, wo erstmals die Unterschreitung unter die Zielmarke 0,2 gelungen ist.

> und bräuchte dafür eine einfache Erklärung "für Nicht-Mathematiker"

Falls du dich "beschweren" willst: Das oben IST eine Erklärung für Nicht-Mathematiker. Eine Erklärung für Mathematiker würde die theoretische Herleitung der Formel (*) beinhalten. ;-)

Roman-22

13:06 Uhr, 22.02.2023

Auf dieser Seite werden Tabellen und Programme/Skripts zur Berechnung nach dem Erlang Modell zum Download zur Verfügung gestellt:
www.mathematik.tu-clausthal.de/interaktiv/warteschlangentheorie/erlang-c

unter anderem auch eine Excel-Tabelle mit entsprechenden Makros:
www.mathematik.tu-clausthal.de/fileadmin/js/Erlang.xlsm

Vielleicht hilft dir das weiter.

LailaB aktiv_icon

14:48 Uhr, 22.02.2023

@HAL9000
Vielen Dank für deine schnelle Antwort! :-)
Ich habe es jetzt deutlich besser verstanden und bin sogar schon auf die 7 gekommen.

Beim Rest haperts aber gerade noch..
Könntest du mir kurz erklären wie du genau auf die

0,3132

und die

0,1746

gekommen bist?
Das konnte ich dann noch nicht so ganz nachvollziehen..

Oder bin ich gerade einfach nur zu doof um die Gleichung entsprechend umzustellen, damit ich da auf das Service Level komme..?

Danke schonmal für deine Hilfe! :-)

Roman-22

15:58 Uhr, 22.02.2023

Nur ein kurzer Hinweis: Mir fällt auf, dass die Interpretation von "Service Level 80//20" bei HAL9000 unterschiedlich zu jener in dem von dir verlinkten Online-Rechner ist. Dort bedeutet das laut Glossar, dass

80 %

der Anfragen in nur

20

Sekunden erledigt werden können.
So führt eine Eingabe von

80 / 30

dort auf eine Anzahl von nur 9 Agenten.
In HAL's Formel finden diese

20

Sekunden keine Berücksichtigung, soweit ich sehe.
Möglicherweise liegt der Seite eine modifizierte Form des Erlang

C

Modells zugrunde.

LailaB aktiv_icon

07:50 Uhr, 23.02.2023

Dankeschön für den Hinweis! :-)
Leider konnte ich immernoch nicht auf die Werte kommen..

: (

Kann mir da jemand ganz simpel mit den vorhandenen Werten erklären was bei

(\cdot)

ausgerechnet wird? Ich blicke da irgendwie nicht ganz durch..

HAL9000

08:41 Uhr, 23.02.2023

Naja, ich hab ja nicht explizit gesagt, dass die 20% von der zweiten Angabe 20 kommen. Das Zahlenbeispiel ist eben gerade derart ungünstig, dass die 20% = 100% - 80% damit verwechselt werden können.

> In HAL's Formel finden diese 20 Sekunden keine Berücksichtigung, soweit ich sehe.

Soweit ich das verstanden habe, geht es bei der von mir angegebenen Formel ja auch nur um die Frage, ob ein zufälliger Anrufer ÜBERHAUPT warten muss. Wie lange, spielt zumindest bei dieser Formel keine Rolle. Bin kein Experte bei dem Problem - hab nur geantwortet, weil sich bis dahin keiner gerührt hat. Da du dich da besser auszukennen scheinst, kannst du bitte die Restfragen von LailaB übernehmen.

Roman-22

16:32 Uhr, 23.02.2023

>

Da du dich da besser auszukennen scheinst
Das ist leider ganz und gar nicht der Fall.
Aber zum Lesen des Glossars in der von LailaB verlinkten Seite hats dann doch noch gereicht ;-)

HAL9000

10:34 Uhr, 24.02.2023

Ok, ich hatte oben schlicht den nötigen zweiten Teil der Betrachtung noch nicht durchgeführt: Mit dieser Wahrscheinlichkeit

p_{c}

, überhaupt warten zu müssen, kann man nun die Wahrscheinlichkeit

P (W \leq τ) = 1 - p_{c} \cdot e^{- \frac{(c - a) τ}{t}}

berechnen, maximal Zeitdauer

τ

warten zu müssen. Diese Wahrscheinlichkeit vergleicht man nun mit dem gewünschten Service-Level 80%, und nimmt dann diejenige Agentenanzahl

c

, wo diese 80% erstmals überschritten werden - fehlte also nur dieser kleine Rechenschritt. Das alles als Python-Code (ich mag kein Excel), den ich hier der Board-Beschränkungen wegen nicht direkt posten darf, daher als QR-Code:

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